Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
(UFSCar – Adaptado) Bola Azul é um jogo para duas pessoas composto de uma urna com duas bolas vermelhas e uma bola azul. As três bolas são idênticas, a menos da cor, e o jogo tem apenas estas regras:
- Alternadamente, cada jogador retira uma bola da urna, sem ver sua cor, até que a bola azul seja retirada.
- Quando um jogador retira uma bola vermelha, esta volta para a urna e o outro jogador faz sua retirada.
- Ganha o jogo quem primeiro retirar da urna a bola azul.
Considerando que todas as três bolas têm a mesma probabilidade de serem retiradas, qual a probabilidade de que o primeiro jogador retire a bola azul em uma de suas retiradas e ganhe a partida?
Lembrete
Dada uma progressão geométrica infinita, [tex](a_1,a_1q, a_1q^2,\cdots,a_1q^{n-1},\cdots)[/tex], de razão [tex]q[/tex], [tex]0\lt q\lt 1[/tex], o limite da soma de todos os seus termos pode ser calculado pela fórmula
\begin{equation}
S=\dfrac{a_{1}}{1-q} \, \, .
\end{equation}
Solução
Sabemos que a probabilidade de um evento ocorrer em um modelo com espaço amostral equiprovável é calculada por:
| Probabilidade[tex]\;\;[/tex] = | número de casos favoráveis | . |
| número de casos possíveis |
Agora, observe que o primeiro jogador ganhará o jogo se retirar a bola azul na primeira jogada ou na terceira jogada ou na quinta, ou seja, em uma jogada de número ímpar da partida. Vamos aos cálculos!
- Ganhando na sua primeira retirada – A primeira retirada do primeiro jogador coincide com a primeira jogada da partida. Lembrando que há duas bolas vermelhas e uma azul, a probabilidade desse jogador ganhar o jogo na sua primeira retirada é:
- Ganhando na sua segunda retirada – A segunda retirada do primeiro jogador é a terceira jogada da partida. Assim, para que o primeiro jogador ganhe na sua segunda retirada, devemos ter uma sequência de três eventos (partidas):
- Ganhando na sua terceira retirada – A terceira retirada do primeiro jogador é a quinta jogada da partida. Assim, para que o primeiro jogador ganhe na sua terceira retirada, devemos ter uma sequência de cinco eventos (partidas):
- Ganhando na sua quarta retirada – A quarta retirada do primeiro jogador é a sétima jogada da partida. Assim, para que o primeiro jogador ganhe na sua quarta retirada, devemos ter uma sequência de sete eventos (partidas):
- Podemos generalizar e concluir que a probabilidade de o primeiro jogador ganhar o jogo na sua [tex]n[/tex]-ésima retirada é
[tex]\qquad P_{1}=\dfrac{1}{3}.[/tex]
- 1°) O primeiro jogador deve pegar uma bola vermelha na sua primeira jogada, o que ocorre com probabilidade [tex]\frac{2}{3}[/tex].
2°) O segundo jogador deve pegar uma bola vermelha na sua primeira jogada, o que ocorre com probabilidade [tex]\frac{2}{3}[/tex].
3°) O primeiro jogador deve pegar a bola azul na sua segunda jogada, o que ocorre com probabilidade [tex]\frac{1}{3}[/tex].
Portanto, a probabilidade de o primeiro jogador ganhar o jogo na sua segunda retirada é:
[tex]\qquad P_{2}=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3}=\left (\dfrac{2}{3} \right)^{2} \times \dfrac{1}{3}.[/tex]
- 1°) O primeiro jogador deve pegar uma bola vermelha na sua primeira jogada, o que ocorre com probabilidade [tex]\frac{2}{3}[/tex].
2°) O segundo jogador deve pegar uma bola vermelha na sua primeira jogada, o que ocorre com probabilidade [tex]\frac{2}{3}[/tex].
3°) O primeiro jogador deve pegar uma bola vermelha na sua segunda jogada, o que ocorre com probabilidade [tex]\frac{2}{3}[/tex].
4°) O segundo jogador deve pegar uma bola vermelha na sua segunda jogada, o que ocorre com probabilidade [tex]\frac{2}{3}[/tex].
5º) O primeiro jogador deve pegar a bola azul na sua terceira jogada, o que ocorre com probabilidade [tex]\frac{1}{3}[/tex].
Portanto, a probabilidade de o primeiro jogador ganhar o jogo na sua terceira retirada é:
[tex]\qquad P_{3}=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3}=\left (\dfrac{2}{3} \right)^{4} \times \dfrac{1}{3}.[/tex]
- 1°) O primeiro jogador deve pegar uma bola vermelha na sua primeira jogada, o que ocorre com probabilidade [tex]\frac{2}{3}[/tex].
2°) O segundo jogador deve pegar uma bola vermelha na sua primeira jogada, o que ocorre com probabilidade [tex]\frac{2}{3}[/tex].
3°) O primeiro jogador deve pegar uma bola vermelha na sua segunda jogada, o que ocorre com probabilidade [tex]\frac{2}{3}[/tex].
4°) O segundo jogador deve pegar uma bola vermelha na sua segunda jogada, o que ocorre com probabilidade [tex]\frac{2}{3}[/tex].
5°) O primeiro jogador deve pegar uma bola vermelha na sua terceira jogada, o que ocorre com probabilidade [tex]\frac{2}{3}[/tex].
6°) O segundo jogador deve pegar uma bola vermelha na sua terceira jogada, o que ocorre com probabilidade [tex]\frac{2}{3}[/tex].
7º) O primeiro jogador deve pegar a bola azul na sua quarta jogada, o que ocorre com probabilidade [tex]\frac{1}{3}[/tex].
Portanto, a probabilidade de o primeiro jogador ganhar o jogo na sua quarta retirada é:
[tex]\qquad P_{4}=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3}=\left (\dfrac{2}{3} \right)^{6} \times \dfrac{1}{3}.[/tex]
[tex]\qquad P_{n}=\left (\dfrac{2}{3} \right)^{2\cdot(n-1)} \times \dfrac{1}{3}[/tex].
Note que o problema não fornece informações sobre em qual jogada o jogo terminará: só impõe que o primeiro jogador seja o vencedor. Assim, temos de calcular a probabilidade de o primeiro jogador ganhar o jogo na sua primeira retirada ou na sua segunda retirada ou na sua terceira retirada ou na sua quarta retirada ou …
Logo, temos de calcular o valor da soma:
[tex]\quad P=\dfrac{1}{3} \textcolor{red}{+} \left (\dfrac{2}{3} \right)^{2} \times \dfrac{1}{3} \textcolor{red}{+} \left (\dfrac{2}{3} \right)^{4} \times \dfrac{1}{3} \textcolor{red}{+}\left (\dfrac{2}{3} \right)^{6} \times \dfrac{1}{3} \textcolor{red}{+} \cdots \textcolor{red}{+} \left (\dfrac{2}{3} \right)^{2\cdot(n-1)} \times \dfrac{1}{3} \textcolor{red}{+} \cdots
[/tex]
Mas as parcelas do somatório acima estão em progressão geométrica de razão [tex]\left (\dfrac{2}{3} \right)^{2}[/tex]; logo, utilizando a fórmula do Lembrete, podemos concluir que
[tex]\qquad \qquad P=\dfrac{1}{3} + \left (\dfrac{2}{3} \right)^{2} \times \dfrac{1}{3} +\left (\dfrac{2}{3} \right)^{4} \times\dfrac{1}{3} + \dots=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1-\left (\dfrac{2}{3} \right)^{2}}=\dfrac{3}{5}.[/tex]
Dessa forma, a probabilidade de que o primeiro jogador ganhe a partida é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{3}{5}$} \, [/tex], ou seja, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$60\%$} \, .[/tex]
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