Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Considere que [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são dois números reais tais que [tex]0\lt a\lt b[/tex] e [tex]a^2+b^2=4ab[/tex].
Determine o valor da expressão [tex] \dfrac {a-b}{a+b}.[/tex]
Solução
- Subtraindo [tex] 2ab [/tex] de ambos os membros da igualdade [tex]a^2+b^2=4ab[/tex], segue que:
- Analogamente, somando-se [tex] 2ab [/tex] a ambos os membros da igualdade [tex]a^2+b^2=4ab[/tex], virá que:
[tex]\qquad \qquad a^2+b^2- 2ab=4ab -2ab \\
\qquad \qquad a^2 – 2ab + b^2 = 2ab \\
\qquad \qquad (a – b)^2 = 2ab\\
\qquad \qquad \sqrt{(a – b)^2} = \sqrt{2ab}\\
\qquad \qquad |a – b| = \sqrt{2ab}.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Como [tex] a [/tex] e [tex] b [/tex] são reais positivos com [tex] b\gt a[/tex] , temos que [tex] a – b \lt 0[/tex]. Logo, segue de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] que:
[tex]\qquad \qquad |a – b| = \sqrt{2ab}\\
\qquad \qquad -\left(a – b\right)=\sqrt{2ab}\\
\qquad \qquad \boxed{a-b =-\sqrt {2ab}} \, .\qquad \textcolor{#800000}{(ii)} [/tex]
[tex]\qquad \qquad a^2+b^2+ 2ab=4ab +2ab \\
\qquad \qquad a^2+ 2ab + b^2 =6ab \\
\qquad \qquad (a+b)^2 =6ab\\
\qquad \qquad \sqrt{(a+b)^2} = \sqrt{6ab}\\
\qquad \qquad |a+b| = \sqrt{6ab}.\qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
Como [tex] a [/tex] e [tex] b [/tex] são reais positivos, concluímos de [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] que:
[tex]\qquad \qquad |a+b| = \sqrt{6ab}\\
\qquad \qquad \boxed{a+b=\sqrt{6ab}} \, .\qquad \textcolor{#800000}{(iv)} [/tex]
Substituindo [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex] na expressão [tex] \dfrac {a-b}{a+b}[/tex], obtemos:
[tex]\qquad \qquad \dfrac {a-b}{a+b} = \dfrac {- \sqrt {2ab}}{\sqrt {6ab} }\\
\qquad \qquad \dfrac {a-b}{a+b} = – \sqrt {\dfrac {2ab}{6ab}}\\
\qquad \qquad \dfrac {a-b}{a+b} = – \dfrac {1} {\sqrt{3}} = -\dfrac {\sqrt {3}} {3} \, .[/tex]
Portanto, o valor da expressão é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$- \dfrac {\sqrt{3}}{3}$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.