.Problema Olímpico – Nível A: Números crescentes

Problema

Diremos que um número natural é crescente, se seus dígitos são ordenados de forma crescente, da esquerda para a direita.
Por exemplo:

Quantos números crescentes existem entre 2300 e 2400?

Solução

Os números crescentes entre

$2300$ e

$2400$ podem ser representados por

$23AB$ , em que

$A$ e

$B$ representam algarismos tais que

$3\lt A\lt B$ . (Observe que a notação

$23AB$ indica a representação de um número de quatro algarismos no sistema decimal.)
Como

$3\lt A\lt B$ , dispomos de

$6$ algarismos para definir o terceiro e o quarto algarismos dos números crescentes em questão:

$4$ ,

$5$ ,

$6$ ,

$7$ ,

$8$ , e

$9.$
Assim, a princípio, podemos escolher

$6$ algarismos para

$A$ e

$5$ para

$B$ , já que

$A$ e

$B$ são distintos. Mas observe que, em metade dessas escolhas,

$A\gt B$ e, na outra metade,

$B\gt A$ .
Logo, a quantidade de números crescentes entre

$2300$ e

$2400$ é

$~\dfrac{6\times 5}{2}=\dfrac{30}{2}=15$ .

Solução elaborada pela aluna do PIC-OBMEP Maria Laura da Silva e Silva, com contribuições dos Moderadores do Blog.