Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
(Unifor-2018) Um laboratório analisa um determinado exame com eficiência de [tex]95 \%[/tex] para detectar uma doença quando essa doença existe de fato. Entretanto, o teste aponta um resultado “falso positivo” para [tex]1 \%[/tex] das pessoas sadias testadas. Se [tex]0,5 \%[/tex] da população tem a doença, qual é, aproximadamente, a probabilidade de uma pessoa ter a doença dado que seu exame foi positivo?
Solução
Usando rigor na escrita, dados dois eventos [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], a probabilidade condicional, denotada por [tex]P(A|B)[/tex], é a probabilidade de [tex]A[/tex] dado [tex]B[/tex], isto é, a probabilidade de [tex]A[/tex] ocorrer dado que [tex]B[/tex] ocorre.
Sabe-se que [tex]\boxed{P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{probabilidade\ de \ A\ ocorrer \ e\ B \ ocorrer}{probabilidade\ de\ B \ ocorrer}}[/tex] , se [tex]P(B)\ne 0 \, .\qquad \textcolor{#800000}{(i)} \, [/tex]
Portanto, também vale que [tex]\boxed{P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A\mid B)} \, .\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Queremos calcular [tex]P(doente|positivo)[/tex] e utilizaremos as fórmulas acima.
Por [tex]\textcolor{#800000}{(i)} \, [/tex], temos que
[tex]\qquad P(doente|positivo)=\dfrac{P(doente\ e\ positivo)}{P(positivo)} \, [/tex]
e por [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex],
[tex]\qquad P(doente\ e\ positivo)=P(doente)\cdot P(positivo|doente).[/tex]
Além disso, [tex]P(positivo)=P(positivo\ e \ doente)+P(positivo\ e \ sadio)[/tex], assim, por [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex],
[tex]\qquad \begin{align*}P(positivo)&=P(positivo\ e \ doente)+P(positivo\ e \ sadio)\\
&=P(doente)\cdot P(positivo|doente)+P(sadio)\cdot P(positivo|sadio).\end{align*}[/tex]
Assim,
[tex]\;\begin{align*}P(doente|positivo)&=\dfrac{P(doente)\cdot P(positivo|doente)}{P(doente)\cdot P(positivo|doente)+P(sadio)\cdot P(positivo|sadio)}\\
&=\dfrac{0,005\cdot 0,95}{0,005\cdot 0,95+0,995\cdot 0,01}\cong \boxed{0,3231} \, .\end{align*}[/tex]
Portanto, a probabilidade de uma pessoa ter a doença dado que seu exame foi positivo é aproximadamente [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$32\%$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.