Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
(Moscow Mathematical Olympiads, 1993-1999 – Adaptado) Sejam [tex]\tan x+\tan y=p[/tex] e [tex]\cot x+\cot y=q[/tex], com [tex]\tan x, \tan y\neq 0[/tex], [tex]\tan x\neq \tan y[/tex] e [tex]p\neq q[/tex].
Calcule [tex]\tan (x+y)[/tex].
Lembretes
[tex]\textcolor{#800000}{\textbf{(i)}}[/tex] [tex]\boxed{\cot a=\dfrac{1}{\tan a}}[/tex], com [tex]a\neq k\dfrac{\pi}{2}[/tex], [tex]k\in \mathbb{Z}[/tex].
[tex]\textcolor{#800000}{\textbf{(ii)}}[/tex] Dados dois ângulos [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], com [tex]a,b, a+b\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi[/tex], [tex]k\in \mathbb{Z}[/tex], tem-se:
[tex]\qquad \boxed{\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\cdot \tan b}} \, .[/tex]
Solução
Pelos dados do problema temos que [tex]\cot x+\cot y=q[/tex]; então, do [tex]\textbf{Lembrete (i)} [/tex], tem-se
[tex] \qquad \dfrac{1}{\tan x}+\dfrac{1}{\tan y}=q \\
\qquad \dfrac{\tan x+\tan y}{\tan x\cdot \tan y}=q\\
\qquad \tan x\cdot \tan y=\dfrac{\tan x+\tan y}{q}.\;\;\;\;\;\;\;\; \textcolor{#800000}{(1)}[/tex]
Como [tex]\tan x+\tan y=p[/tex], substituindo em [tex]\textcolor{#800000}{(1)}[/tex] obtemos
[tex] \qquad \tan x\cdot \tan y=\dfrac{p}{q}.\;\;\;\;\;\; \textcolor{#800000}{(2)}[/tex]
Do [tex]\textbf{Lembrete (ii)}[/tex] e da equação [tex]\textcolor{#800000}{(2)}[/tex] temos
[tex] \qquad \tan(x+y)=\dfrac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\cdot \tan y}\\
\qquad \tan(x+y)=\dfrac{p}{1-\dfrac{p}{q}}\\
\qquad \tan(x+y)=\dfrac{p}{\dfrac{q-p}{q}}\\
\qquad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\tan(x+y)=\dfrac{pq}{q-p}$} \, .[/tex]
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