Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Na cerimônia de abertura de uma olimpíada, foram colocadas numa pista retilínea [tex]10[/tex] tochas acesas, distanciadas [tex]30 \, m[/tex] uma da outra, e um recipiente contendo água foi colocado antes da primeira tocha a uma distância de [tex]1 \, m[/tex].
Um corredor parte do local onde está o recipiente, pega a primeira tocha, retorna ao ponto de partida para apagá-la e repete esse movimento até apagar a décima tocha.
Quantos metros ele percorre do início ao fim dessa atividade?
Solução
- Para apagar a primeira tocha o corredor percorre uma distância de [tex]1+1=2 \, m[/tex];
- para apagar a segunda tocha o corredor percorre uma distância de [tex]31+31=62 \, m \, (2+1\times 60)[/tex];
- para apagar a terceira tocha o corredor percorre uma distância de [tex]61+61=122 \, m \, (2+2\times 60)[/tex];
- Para apagar a décima, e última, tocha o corredor percorre uma distância de [tex](2+9\times 60)m[/tex].
e assim sucessivamente.
Assim, a distância final percorrida em metros pelo corredor é a soma
[tex]\qquad D=2+(2+1\times 60)+(2+2\times 60)+\cdots+(2+9\times 60).[/tex]
Este número [tex]D[/tex] é a soma dos dez primeiros termos de uma progressão aritmética com primeiro termo igual a [tex]2[/tex] e razão igual a [tex]60[/tex] e pode ser calculado pela fórmula da soma dos termos de uma P. A. ou de forma direta:
[tex]\qquad D=\textcolor{red}{2}+(\textcolor{red}{2}+1\times 60)+(\textcolor{red}{2}+2\times 60)+\cdots+(\textcolor{red}{2}+9\times 60).[/tex]
[tex]\qquad D=\textcolor{red}{10\times 2}+60(1+2+\cdots+9)=20+60\times 45=2720[/tex].
Assim, a distância percorrida pelo atleta do início ao fim dessa atividade foi de [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$2.720 \, m$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.