Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Mostre que, para todo número natural [tex]n[/tex] não nulo, vale a desigualdade [tex]\sqrt{\dfrac{n-1}{n}}\lt 1[/tex].
Utilize tal fato para determinar qual dos números é o maior: [tex]200[/tex] ou [tex]1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dots+\dfrac{1}{\sqrt{10000}}[/tex]?
Solução
Primeiramente vamos provar que a desigualdade
[tex]\qquad \qquad \sqrt{\dfrac{n-1}{n}}\lt 1[/tex]
é válida para todo número natural [tex]n[/tex] não nulo.
Para isso, observe que, para todo número natural [tex]n[/tex] não nulo, é sempre verdade que [tex]n\lt n+1[/tex] e, além disso,
[tex]\qquad \qquad \quad \quad n \lt n+1 \ \ \Leftrightarrow \ \ n-1 \lt n \ \ \Leftrightarrow \ \ \dfrac{n-1}{n} \lt 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ \sqrt{ \dfrac{n-1}{n}}\lt 1[/tex].
Portanto, é verdade que para todo número natural [tex]n[/tex] não nulo, [tex]\boxed{\sqrt{\dfrac{n-1}{n}}\lt 1}[/tex].
Agora iremos transformar esta desigualdade numa outra mais útil a nossos propósitos:
[tex]\qquad \begin{align*}\boxed{\sqrt{\dfrac{n-1}{n}}\lt 1} &\Leftrightarrow 1+\sqrt{\dfrac{n-1}{n}}\lt 2 \Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}}\lt 2 \Leftrightarrow\\
& \Leftrightarrow\dfrac{\left(\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\right) \left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}{\sqrt{n}} \lt 2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}) \Leftrightarrow \\
& \Leftrightarrow\boxed{ \dfrac{1}{\sqrt{n}} \lt 2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})}.
\end{align*}[/tex]
Portanto, [tex]\boxed{\sqrt{\dfrac{n-1}{n}}\lt 1} \Leftrightarrow\boxed{ \dfrac{1}{\sqrt{n}} \lt 2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})}.[/tex]
Usando esta última desigualdade várias vezes obtemos
[tex]\qquad \begin{align*}&1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dots+\dfrac{1}{\sqrt{10000}}=\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\textcolor{red}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}+\textcolor{#52D017}{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}+\dots+\textcolor{blue}{\dfrac{1}{\sqrt{10000}}}\\
& \textcolor{red}{\boxed{\lt}} 2(\sqrt{1}-\sqrt{0})+\textcolor{red}{2(\sqrt{2}-\sqrt{1})}+\textcolor{#52D017}{2(\sqrt{3}-\sqrt{2})}+\cdots+\textcolor{blue}{2(\sqrt{10000}-\sqrt{9999})}\\
&=(2\sqrt{1}-2\sqrt{0})+(2\sqrt{2}-2\sqrt{1})+(2\sqrt{3}-2\sqrt{2})+\cdots+(2\sqrt{10000}-2\sqrt{9999})\\
&=-2\sqrt{0}+2\sqrt{10000}=0+200=200\end{align*}\\
\,[/tex]
e, assim, [tex]1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dots+\dfrac{1}{\sqrt{10000}}\textcolor{red}{\lt} 200.[/tex]
Portanto, o maior dos dois números é o [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$200$} \, [/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.