Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
Fixado um número inteiro [tex]n[/tex], [tex]n\gt 1[/tex], vamos associar a qualquer número natural [tex]a[/tex] o símbolo [tex]\bar{a}[/tex] para representar o resto da sua divisão por [tex]n[/tex]. Como todos os possíveis restos de uma divisão por [tex]n[/tex] são os números [tex]0,1,2, \cdots, n-1[/tex], o símbolo [tex]\bar{a}[/tex] associado ao número natural [tex]a[/tex] será um dos seguintes: [tex]\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3},\cdots,\overline{n-1}[/tex].
Por exemplo, para [tex]n=4[/tex], utilizamos os símbolos [tex]\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}[/tex] para fazermos as associações; vejam algumas:
- ao número [tex]10[/tex] associamos [tex]\bar{2}[/tex], pois o resto da divisão de [tex]10[/tex] por [tex]4[/tex] é [tex]2[/tex];
- ao número [tex]81[/tex] associamos [tex]\bar{1}[/tex], pois o resto da divisão de [tex]81[/tex] por [tex]4[/tex] é [tex]1[/tex];
- ao número [tex]40[/tex] associamos [tex]\bar{0}[/tex], pois o resto da divisão de [tex]40[/tex] por [tex]4[/tex] é [tex]0[/tex];
- ao número [tex]200[/tex] também associamos [tex]\bar{0}[/tex], pois o resto da divisão de [tex]200[/tex] por [tex]4[/tex] é [tex]0[/tex];
- ao número [tex]3[/tex] associamos [tex]\bar{3}[/tex], pois o resto da divisão de [tex]3[/tex] por [tex]4[/tex] é [tex]3[/tex].
É importante notar que, dados dois números inteiros [tex]a[/tex] e [tex] b[/tex]:
- [tex] \overline{a}=\overline{b}[/tex] se, e somente se, os restos da divisão de [tex]a[/tex] e de [tex]b [/tex] por [tex]n[/tex] são iguais.
Essa afirmação, na prática, nos garante duas propriedades:
- se [tex] \overline{a}=\overline{b}[/tex] então os restos da divisão de [tex]a[/tex] e de [tex]b [/tex] por [tex]n[/tex] são iguais;
e
- se os restos da divisão de [tex]a[/tex] e de [tex]b [/tex] por [tex]n[/tex] são iguais, então [tex]\overline{a}=\overline{b}.[/tex]
Fixado um número inteiro [tex]n[/tex], [tex]n\gt 1[/tex], podemos formar o seguinte conjunto [tex]\mathbb{Z}_n=\{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3},\cdots,\overline{n-1}\}[/tex] e nesse conjunto podemos definir a seguinte operação:
[tex]\bar{a}+\bar{b}=\overline{a+b}, \forall \;\bar{a}, \bar{b}\in \mathbb{Z}_n.\hspace{3cm} \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Fixando [tex]n=8[/tex], temos que [tex]\mathbb{Z}_8=\{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3},\bar{4}, \bar{5}, \bar{6}, \bar{7}\}[/tex]. Nesse conjunto, por exemplo:
[tex]\qquad \qquad \bar{1}+\bar{7}=\overline{1+6}=\bar{7}[/tex];
[tex]\qquad \qquad \bar{2}+\bar{4}=\overline{2+4}=\bar{6}[/tex];
mas
[tex]\qquad \qquad \bar{6}+\bar{7}=\overline{6+7}=\overline{13}=\bar{5}[/tex],
pois [tex] \, 13 \gt 8[/tex] e o resto da divisão de [tex]13[/tex] por [tex]8[/tex] é [tex]5[/tex];
[tex]\qquad \qquad \bar{5}+\bar{5}=\overline{5+5}=\overline{10}=\bar{2}[/tex],
pois [tex] \, 10 \gt 8[/tex] e o resto da divisão de [tex]10[/tex] por [tex]8[/tex] é [tex]2[/tex].
Essas definições e propriedades são o início de uma teoria da Matemática, conhecida como aritmética dos restos, que é muito importante e bastante utilizada em diversos problemas de Aritmética e de Teoria dos Números.
Utilizando a operação definida em [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex], calcule, em [tex]\mathbb{Z}_8[/tex]:
(a) [tex]\bar{1}+\bar{2}[/tex];
(b) [tex]\bar{4}+\bar{7}[/tex];
(c) [tex]\bar{x} \in \mathbb{Z}[/tex] tal que [tex]\bar{x}+\bar{5}=\bar{0}[/tex].
Solução
(a) Da definição [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad \qquad \bar{1}+\bar{2}=\overline{1+2}=\bar{3}[/tex].
Como [tex]3 \lt 8[/tex], segue que [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \, \overline{1}+\overline{2}=\overline{3} \, $} \, .[/tex]
(b) Da definição [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex], segue que [tex]\bar{4}+\bar{7}=\overline{4+7}=\overline{11}.[/tex]
Observemos que, para encontrar o elemento de [tex]\mathbb{Z}_8[/tex] correspondente a [tex]\overline{11}[/tex], devemos utilizar o algoritmo da divisão e encontrar o resto da divisão de [tex]11[/tex] por [tex]8[/tex].
Como
| [tex]11[/tex] | [tex]8[/tex] | |
| [tex]3[/tex] | [tex]1[/tex] |
segue que [tex]\overline{11}=\bar{3}[/tex] e, portanto, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \, \overline{4}+\overline{7}=\overline{3} \, $} \, .[/tex]
(c) Devemos encontrar [tex]\bar{x} \in \mathbb{Z}[/tex] tal que [tex]\bar{x}+\bar{5}=\bar{0}[/tex].
Note que, de [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex], segue que
[tex]\qquad \bar{0}=\bar{x}+\bar{5}=\overline{x+5}[/tex];
assim, sendo [tex]\overline{x+5}=\bar{0}[/tex], segue da definição inicial que [tex]x+5[/tex] é múltiplo de [tex]8.[/tex]
Analisando todos os elementos de [tex]\mathbb{Z}_8[/tex] obtemos que [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \, \bar{x}=\bar{3}$} \, .[/tex] De fato, veja que:
[tex]\qquad \bar{3}+\bar{5}\stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{=}\overline{3+5}=\bar{8}=\bar{0}.[/tex]
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