.Desafio: Classe Residual

Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)

Fixado um número inteiro $n$, $n\gt 1$, vamos associar a qualquer número natural $a$ o símbolo $\bar{a}$ para representar o resto da sua divisão por $n$. Como todos os possíveis restos de uma divisão por $n$ são os números $0,1,2, \cdots, n-1$, o símbolo $\bar{a}$ associado ao número natural $a$ será um dos seguintes: $\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3},\cdots,\overline{n-1}$.
Por exemplo, para $n=4$, utilizamos os símbolos $\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}$ para fazermos as associações; vejam algumas:

• ao número $10$ associamos $\bar{2}$, pois o resto da divisão de $10$ por $4$ é $2$;
• ao número $81$ associamos $\bar{1}$, pois o resto da divisão de $81$ por $4$ é $1$;
• ao número $40$ associamos $\bar{0}$, pois o resto da divisão de $40$ por $4$ é $0$;
• ao número $200$ também associamos $\bar{0}$, pois o resto da divisão de $200$ por $4$ é $0$;
• ao número $3$ associamos $\bar{3}$, pois o resto da divisão de $3$ por $4$ é $3$.

É importante notar que, dados dois números inteiros $a$ e $b$:

• $\overline{a}=\overline{b}$ se, e somente se, os restos da divisão de $a$ e de $b$ por $n$ são iguais.

Essa afirmação, na prática, nos garante duas propriedades:

• se $\overline{a}=\overline{b}$ então os restos da divisão de $a$ e de $b$ por $n$ são iguais;

e

• se os restos da divisão de $a$ e de $b$ por $n$ são iguais, então $\overline{a}=\overline{b}.$

Fixado um número inteiro $n$, $n\gt 1$, podemos formar o seguinte conjunto $\mathbb{Z}_n=\{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3},\cdots,\overline{n-1}\}$ e nesse conjunto podemos definir a seguinte operação:

$\bar{a}+\bar{b}=\overline{a+b}, \forall \;\bar{a}, \bar{b}\in \mathbb{Z}_n.\hspace{3cm} \textcolor{#800000}{(i)}$

Fixando $n=8$, temos que $\mathbb{Z}_8=\{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3},\bar{4}, \bar{5}, \bar{6}, \bar{7}\}$. Nesse conjunto, por exemplo:
$\qquad \qquad \bar{1}+\bar{7}=\overline{1+6}=\bar{7}$;
$\qquad \qquad \bar{2}+\bar{4}=\overline{2+4}=\bar{6}$;
mas
$\qquad \qquad \bar{6}+\bar{7}=\overline{6+7}=\overline{13}=\bar{5}$,
pois $\, 13 \gt 8$ e o resto da divisão de $13$ por $8$ é $5$;
$\qquad \qquad \bar{5}+\bar{5}=\overline{5+5}=\overline{10}=\bar{2}$,
pois $\, 10 \gt 8$ e o resto da divisão de $10$ por $8$ é $2$.

Essas definições e propriedades são o início de uma teoria da Matemática, conhecida como aritmética dos restos, que é muito importante e bastante utilizada em diversos problemas de Aritmética e de Teoria dos Números.

Utilizando a operação definida em $\textcolor{#800000}{(i)}$, calcule, em $\mathbb{Z}_8$:
(a) $\bar{1}+\bar{2}$;
(b) $\bar{4}+\bar{7}$;
(c) $\bar{x} \in \mathbb{Z}$ tal que $\bar{x}+\bar{5}=\bar{0}$.

Solução

(b) Da definição $\textcolor{#800000}{(i)}$, segue que $\bar{4}+\bar{7}=\overline{4+7}=\overline{11}.$
Observemos que, para encontrar o elemento de $\mathbb{Z}_8$ correspondente a $\overline{11}$, devemos utilizar o algoritmo da divisão e encontrar o resto da divisão de $11$ por $8$.
Como

segue que $\overline{11}=\bar{3}$ e, portanto, $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \, \overline{4}+\overline{7}=\overline{3} \, $} \, .$

(c) Devemos encontrar $\bar{x} \in \mathbb{Z}$ tal que $\bar{x}+\bar{5}=\bar{0}$.
Note que, de $\textcolor{#800000}{(i)}$, segue que
$\qquad \bar{0}=\bar{x}+\bar{5}=\overline{x+5}$;
assim, sendo $\overline{x+5}=\bar{0}$, segue da definição inicial que $x+5$ é múltiplo de $8.$
Analisando todos os elementos de $\mathbb{Z}_8$ obtemos que $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \, \bar{x}=\bar{3}$} \, .$ De fato, veja que:
$\qquad \bar{3}+\bar{5}\stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{=}\overline{3+5}=\bar{8}=\bar{0}.$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.