Fórmula de Herão: Dedução 4

A justificativa dessa propriedade é bastante simples, se você souber um pouquinho sobre triângulos congruentes. Observe que:

• os triângulos [tex]PAO[/tex] e [tex]PBO[/tex] são triângulos retângulos;
• os segmentos [tex]\overline{OA}[/tex] e [tex]\overline{OB}[/tex] têm o mesmo comprimento, já que são raios de [tex]\Gamma;[/tex]
• o segmento [tex]\overline{PO}[/tex] é lado comum aos dois triângulos;

assim, pelo caso de congruência para triângulos retângulos, os triângulos [tex]PAO[/tex] e [tex]PBO[/tex] são congruentes e, consequentemente, [tex]\overline{PA}[/tex] e [tex]\overline{PB}[/tex] têm o mesmo comprimento. (Se você não se lembra dos casos de congruência de triângulos, clique AQUI.)

A justificativa deste Lema é um pouco mais longa…
Sejam, então, [tex]ABC[/tex] um triângulo cujos lados [tex]\overline{AB}\, [/tex], [tex]\overline{BC}\, [/tex] e [tex]\, \overline{CA}[/tex] têm comprimentos [tex]c\, ,\, a\, , b\, [/tex], respectivamente, e [tex]\Gamma[/tex] a sua circunferência inscrita.
Se [tex]T_1\, , \, T_2\, ,\, T_3\, [/tex] são os pontos de tangência de [tex]\Gamma[/tex] ao triângulo [tex]ABC\, [/tex], então, pelo Lema 1, temos que os comprimentos dos segmentos [tex]\overline{AT_1}[/tex] e [tex]\overline{AT_3}[/tex] são iguais, assim como os comprimentos de [tex]\overline{BT_1}[/tex] e [tex]\overline{BT_2}[/tex] e também de [tex]\overline{CT_3}[/tex] e [tex]\overline{CT_2}[/tex]. Sejam [tex]x[/tex], [tex]y[/tex] e [tex]z[/tex] tais comprimentos, de acordo com a figura a seguir.

Dessa forma, segue que:
[tex]\qquad \qquad \boxed{x+y=c}\, \, ,\, \, \boxed{y+z=a}\, \, ,\, \, \boxed{x+z=b}\, [/tex],
donde
[tex]\qquad \qquad a+b+c=2x+2y+2z=2(x+y+z)\, [/tex],
e assim,
[tex]\qquad \qquad x+y+z=\dfrac{a+b+c}{2}[/tex].
Logo, se [tex]p[/tex] é o semiperímetro de [tex]ABC[/tex], então [tex]\boxed{x+y+z=p}[/tex].

A partir das quatro igualdades destacadas, obtemos que:

• [tex] x=x+y+z-y-z=(x+y+z)-(y+z)=p-a.[/tex]
• [tex] y=x+y+z-x-z=(x+y+z)-(x+z)=p-b.[/tex]
• [tex] z=x+y+z-x-y=(x+y+z)-(x+y)=p-c.[/tex]

Observando a figura acima, vemos que já obtivemos quase todas as relações que precisamos obter!
Para completar a justificativa, falta determinar apenas os comprimentos dos segmentos [tex]\overline{BT_5}[/tex] e [tex]\overline{CT_6}[/tex], que denotaremos por [tex]k[/tex] e [tex]t[/tex] respectivamente.
Vamos observar, então, a circunferência ex-inscrita da figura do problema.

Sabemos pelo Lema 1 que:

• os segmentos [tex]\overline{AT_5}[/tex] e [tex]\overline{AT_6}[/tex] têm o mesmo comprimento, digamos [tex]v[/tex];
• os segmentos [tex]\overline{BT_5}[/tex] e [tex]\overline{BT_4}[/tex] têm o mesmo comprimento, digamos [tex]k[/tex];
• os segmentos [tex]\overline{CT_4}[/tex] e [tex]\overline{CT_6}[/tex] têm o mesmo comprimento, digamos [tex]t[/tex].

Observe inicialmente que o lado [tex]\overline{BC}[/tex] do triângulo tem comprimento [tex]a[/tex], logo [tex]a=k+t[/tex], donde [tex]t=a-k[/tex] e, com isso, segue que:
[tex]\qquad a-k =t\\
\qquad a-k =v-b\\
\qquad a-k =(c+k)-b\\
\qquad 2k =a+b-c\\
\qquad 2k =a+b-c+(c-c)\\
\qquad 2k =a+b+c-2c\\
\qquad k =\dfrac{a+b+c-2c}{2}\\
\qquad k =\dfrac{a+b+c}{2}-c\\
\qquad \boxed{k =p-c}\, .\\
[/tex]
Ainda de [tex]t=a-k[/tex], segue que:
[tex]\qquad t=a-k\\
\qquad t=a-(p-c)\\
\qquad t=a-p+c\\
\qquad t=a-\dfrac{a+b+c}{2}+c\\
\qquad t=\dfrac{2a-a-b-c+2c}{2}\\
\qquad t=\dfrac{a-b+c}{2}\\
\qquad t=\dfrac{a-b+c+(b-b)}{2}\\
\qquad t=\dfrac{a+b+c-2b}{2}\\
\qquad t=\dfrac{a+b+c}{2}-b\\
\qquad \boxed{t=p-b}\, .\\
[/tex]

• Você pode conferir a justificativa desta propriedade na página da Dedução 2.
  Clique aqui: é o Lema 1 daquela demonstração.
• Mas vamos fazer aqui uma demonstração alternativa. Para isso, considere um triângulo [tex]ABC[/tex] cujos lados têm comprimentos iguais a [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] e seu incentro [tex]I.[/tex]

A partir do ponto [tex]I[/tex], vamos construir três triângulos internos a [tex]ABC[/tex]: triângulos [tex]ABI[/tex], [tex]BCI[/tex] e [tex]CAI.[/tex]



Como o incentro de um triângulo é o centro da circunferência inscrita a ele, podemos encontrar facilmente uma altura para cada um dos três triângulos internos. (Lembre-se de que os raios de uma circunferência inscrita construídos a partir dos seus pontos de tangência são perpendiculares aos respectivos lados.)



Pronto, quase finalizamos a nossa demonstração. Observe que a área [tex]S[/tex] do triângulo [tex]ABC[/tex] é a soma das áreas [tex] \fcolorbox{black}{#5CB3FF}{$S_1$}\, [/tex], [tex]\fcolorbox{black}{#FFFF00}{$S_2$}\, [/tex] e [tex]\fcolorbox{black}{#FFA85C}{$S_3$}[/tex] dos triângulos [tex]ABI[/tex], [tex]BCI[/tex] e [tex]CAI[/tex]; assim, se [tex]r[/tex] é o comprimento do raio da circunferência inscrita, como a área de um triângulo é dada por [tex]\dfrac{base \times altura}{2}[/tex], segue que:

[tex]\qquad S= \fcolorbox{black}{#5CB3FF}{$S_1$}+\fcolorbox{black}{#FFFF00}{$S_2$}+\fcolorbox{black}{#FFA85C}{$S_3$}\\
\qquad S= \dfrac{c \times r}{2}+\dfrac{a \times r}{2}+\dfrac{b \times r}{2}\\
\qquad S= r \times \left(\dfrac{c}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{2}\right)\\
\qquad S= r \times \dfrac{a+b+c}{2}.\\
\, \, [/tex]
Observe que [tex]\dfrac{a+b+c}{2}[/tex] é o semiperímetro do triângulo [tex]ABC[/tex]; portanto,
[tex]\qquad \qquad \boxed{S= r \times p}[/tex], com [tex]p=\dfrac{a+b+c}{2}.[/tex]