.Problema: Probabilidade com dominós

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)

Ao sortearmos duas peças de um dominó comum, qual é a probabilidade de que essas peças tenham um número em comum?

Solução

• Nosso Experimento: sorteio de duas peças de um dominó.
• O espaço amostral deste experimento tem
         C_28,2 = 14 ✕ 27 = 378 sorteios;
  assim, é possível sortearmos 378 diferentes pares de peças.

Para quem não conhece ou não se lembra da fórmula C_28,2 = 14 ✕ 27 = 378, basta pensar que temos 28 peças em um jogo de dominó, logo temos 28 maneiras de sortearmos a primeira peça. Sorteada a primeira peça, restam 27 peças; logo, pelo Princípio Multiplicativo^*, temos 28 ✕ 27 maneiras de sortearmos as duas peças. Mas observe que poderíamos ter sorteado primeiro uma peça P e no segundo sorteio uma peça Q, mas também poderíamos ter sorteado primeiro a peça Q e no segundo sorteio a peça P e assim, em ambos os casos, as peças sorteadas seriam as mesmas, somente em ordem trocada: “P e Q” e “Q e P”. Então, no cálculo em 28 ✕ 27=756 maneiras, contamos o sorteio de cada conjunto de duas peças distintas duas vezes; portanto, o número de maneiras DISTINTAS de escolhermos duas peças do dominó é 14 ✕ 27 = 378.

Mas o que queremos é calcular a probabilidade de ocorrer o seguinte evento E: as duas peças sorteadas apresentam um número em comum.
Para isso, faremos a contagem do número de modos de escolher duas peças do dominó com um número em comum observando que dois casos (mutuamente exclusivos) podem ocorrer:
Caso A: Sortear um carrossel e uma peça simples, tendo um número em comum.
ou
Caso B: Sortear duas peças simples, tendo um número em comum.

• No Caso A, há 7 modos de escolher um carrossel e 6 modos de escolher uma peça simples que apresente o número do carrossel escolhido. Assim, pelo Princípio Multiplicativo^*, há 7 ✕ 6 = 42 sorteios favoráveis.
• No Caso B, há 7 modos de escolher o número comum às duas peças. Escolhido o número, há C_6,2=15 modos de tomarmos duas peças simples. Pelo Princípio Multiplicativo^* , temos 7 ✕ 15 = 105 sorteios favoráveis.

Como A e B são situações disjuntas que juntas descrevem o evento E, então a probabilidade de E ocorrer é a soma das probabilidades dos casos A e B ocorrerem. Assim:
                P(E) = P(A) + P(B) = 42/378 + 105/378 = 147/378 = 7/18.
Portanto, a probabilidade de que as duas peças sorteadas tenham um número em comum é 7/18, ou seja, aproximadamente 38,9% .

Observe que no cálculo do número de sorteios favoráveis da Etapa B, poderíamos não ter utilizado a fórmula C_6,2 para calcularmos o número de maneiras de escolhermos duas peças simples, escolhido o número comum às duas.
           Tente chegar ao número 15, utilizando o Princípio Multiplicativo^*.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Material de apoio

* Se você não se lembra do Princípio Multiplicativo, sugerimos que você assista a este vídeo, a este vídeo e também a este .
Você pode também ler o texto “O princípio multiplicativo” na Sala de Pequenos Textos, na Nossa Biblioteca.
Bons estudos!