.Problemão: Um número quadrado perfeito

Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)

Encontre todos os números da forma [tex]aabb[/tex] que são formados por quatro algarismos e que sejam quadrados perfeitos.

(Fonte: Coleção Olimpíadas de Matemática: Livro “Iniciação à Matemática: um curso com problemas e soluções”)

Solução

Supondo que o número [tex]aabb[/tex] seja um quadrado perfeito, então existe um inteiro [tex]N[/tex] tal que [tex] N^2=aabb[/tex].
(Aqui, a notação [tex]aabb[/tex] não indica um produto e sim a representação de um número com quatro algarismos no sistema decimal.)
Assim, pode-se concluir que:

[tex]\qquad N^2=10^3\cdot a+10^2\cdot a+10\cdot b+b\\
\qquad N^2=10^2\cdot (10\cdot a+a)+11\cdot b\\
\qquad N^2=10^2\cdot 11\cdot a+11\cdot b\\
\qquad N^2=11\cdot(10^2\cdot a+b)\\
\qquad N^2=11\cdot(99\cdot a+a+b).[/tex]

Mas note que:

[tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] Como [tex]11[/tex] é primo, perceba que [tex]11^2[/tex] divide [tex]N^2[/tex]. Dessa forma, [tex]11[/tex] deve ser divisor de [tex](99\cdot a+a+b)[/tex]. Logo, nota-se que a parcela [tex] 99\cdot a [/tex] é múltiplo de [tex]11[/tex], fato que permite concluir que [tex] (a+b)[/tex] deve também ser múltiplo de [tex]11[/tex].

[tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] Observando que [tex]aabb[/tex] tem quatro algarismos, necessariamente [tex]a\ne 0[/tex]. Portanto, [tex]a\in \{1,2,3,…,9\} \, [/tex] e [tex] \, b\in \{0,1,2,…,9\}[/tex], ou seja, [tex]a+b\leq18[/tex]. Logo, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], devemos ter [tex]\boxed{ \, a+b=11 \, }.[/tex]

[tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] É fato conhecido que todo número quadrado perfeito tem como algarismo das unidades [tex]0,1,4,5,6,9[/tex]; então, [tex] b\in \{0,1,4,5,6,9\}[/tex].

Assim, substituindo os valores de [tex]b[/tex] obtidos em [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] na igualdade [tex]\boxed{ \, a+b=11 \, }[/tex] obtida em [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], tem-se:

Para [tex]b=0[/tex] ou [tex] b=1[/tex], recaímos, respectivamente, em [tex]a=11[/tex] ou [tex] a=10[/tex]; dois absurdos, uma vez que [tex]a[/tex] é um algarismo.
Para [tex]b=4[/tex] tem-se [tex]a=7[/tex], logo [tex]N^2=aabb=7744[/tex], que é um quadrado perfeito pois [tex]88^2=7744[/tex].
Para [tex]b=5[/tex] tem-se [tex]a=6[/tex], logo [tex]N^2=6655[/tex], que não é quadrado perfeito.
Para [tex]b=6[/tex] tem-se [tex]a=5[/tex], logo [tex]N^2=5566[/tex], que não é quadrado perfeito.
Para [tex]b=9[/tex] tem-se [tex]a=2[/tex], logo [tex]N^2=2299[/tex], que não é quadrado perfeito.

Portanto, existe um único quadrado perfeito da forma [tex]aabb \, [/tex]: [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \, 7744 \, $} \, [/tex].

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.