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Problema
(A partir do 9º ano do E. F.)
Vamos preencher uma tabela [tex] 3 \times 3[/tex] com os números
[tex]\qquad \boxed{1 \, , \, 7 \, , \, 9 \, , \, 11 \, , \, 12 \, , \, 14 \, , \, 16 \, , \, 17 \, , \, 19\,\,}[/tex]
de tal forma que:
- nos cantos do tabuleiro escreveremos apenas números primos;
- no centro do tabuleiro não escreveremos um quadrado perfeito.
De quantas formas podemos fazer o preenchimento?
[tex]\begin {array}{|c| c| c|}
\hline
\qquad \textcolor{red}{?} \qquad &\qquad \textcolor{red}{?} \qquad &\qquad \textcolor{red}{?} \qquad \\
\hline
\qquad \textcolor{red}{?} \qquad &\qquad \textcolor{red}{?} \qquad &\qquad \textcolor{red}{?} \qquad \\
\hline
\qquad \textcolor{red}{?} \qquad &\qquad \textcolor{red}{?} \qquad &\qquad \textcolor{red}{?} \qquad \\
\hline
\end{array}[/tex]
Ajuda
Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo, para três decisões :
Se
- uma decisão D1 puder ser tomada de [tex] m_1 [/tex] maneiras distintas,
- uma decisão D2 puder ser tomada de [tex] m_2 [/tex] maneiras distintas,
- uma decisão D3 puder ser tomada de [tex]m_3 [/tex] maneiras distintas,
- e todas essas decisões forem independentes entre si (isto é, a escolha de uma não muda a quantidade de possibilidades para a escolha de outra),
então o número total de maneiras de tomarmos sucessivamente essas três decisões é igual ao produto
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1\times m_2 \times m_3} \, .[/tex]
(Se você não se lembra desse Princípio, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo.)
Solução
Observemos inicialmente que dentre os números [tex] 1 \, , \, 7 \, , \, 9 \, , \, 11 \, , \, 12 \, , \, 14 \, , \, 16 \, , \, 17 \, , \, 19[/tex]:
- quatro são primos: [tex] 7, \, 11, \, 17, \, 19[/tex];
- três são quadrados perfeitos: [tex] 1=1^2, \, 9=3^2, \, 16=4^2[/tex].
Vamos então à contagem do número de modos com que podemos preencher a tabela [tex] 3 \times 3[/tex] do problema.
[tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] Vamos iniciar o preenchimento pelos cantos da tabela. Note que temos quatro números primos que devem ser colocados nos cantos da tabela. Assim, como são quatro números a serem colocados em quatro lugares, podemos fazê-lo de [tex]4!=24[/tex] maneiras diferentes.
[tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] Vamos agora preencher o centro da tabela e, no centro, devemos colocar um número que não seja um quadrado perfeito. Temos cinco números não utilizados: [tex] 1 \, , \, 9 \, , \, 12 \, , \, 14 \, , \, 16 \, [/tex] e, desses, três são quadrados perfeitos. Dessa forma, devemos utilizar para o centro da tabela o [tex] 12[/tex] ou o [tex]14[/tex], ou seja, temos [tex]2[/tex] possibilidades.
[tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] Feito o preenchimento dos cantos e do centro da tabela, restam ainda [tex]9-4-1=4[/tex] números a serem utilizados em quatro posições, sendo que esses números podem ocupar qualquer uma dessas quatro posições. Então podemos distribuí-los de [tex]4!=24[/tex] maneiras.
Por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], utilizando o Princípio Fundamental da Contagem, concluímos que a tabela pode ser preenchida de [tex]24 \times 2 \times 24= \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1152$}[/tex] maneiras diferentes.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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