Problema
Se [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são números naturais tais que [tex]a^{2}-b^{2}=2019[/tex], quais são os possíveis valores para [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex]?
Solução
Pelo caso de fatoração “diferença de dois quadrados”, temos que:
[tex]\qquad a^{2}-b^{2}=2019[/tex]
[tex]\qquad (a+b) \cdot (a-b)=2019[/tex]
Como [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são naturais, [tex]a+b[/tex] também é natural e [tex]a-b[/tex] pode ser natural ou inteiro negativo.
Pelo fato de [tex]2019[/tex] ser natural, a última igualdade nos garante que [tex]a-b[/tex] também deve ser um número natural.
Logo, [tex]a+b[/tex] e [tex]a-b[/tex] são divisores naturais de [tex]2019[/tex] e precisamos, portanto, obter todos os divisores naturais de [tex]2019[/tex]. Para isso, utilizaremos o algoritmo que nos fornece esses divisores:
[tex]\qquad \hspace{2.5cm}\underline{\fcolorbox{black}{#BFFFFF}{1}} \\
\qquad \begin{array}{r|l}
2019 & 3 & \fcolorbox{black}{#BFFFFF}{3}\\
673& 673 & \fcolorbox{black}{#BFFFFF}{673}\,\, \fcolorbox{black}{#BFFFFF}{2019}\\
1& &
\\ \end{array}[/tex]
Os divisores obtidos formam dois pares com produto [tex]2019[/tex]: [tex] \boxed{1\cdot 2019 = 2019}\,\,[/tex] e [tex]\,\, \boxed{3 \cdot 673 = 2019}.[/tex]
Portanto, como [tex]a+b\geq a-b[/tex], temos dois casos a considerar:
- Caso 1:
- Caso 2:
[tex]\qquad \qquad \begin{cases} a + b = 2019 \\ a-b = 1 \end{cases}[/tex], donde [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\, a=1010 \text{ e }\, \, b=1009$}\, .[/tex]
[tex]\qquad \qquad\begin{cases} a + b = 673 \\ a-b = 3 \end{cases}[/tex], donde [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\, a=338 \text{ e }\, \, b=335$}\, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.