Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
(Fuvest 2011 – Adaptado) Seja [tex]x[/tex] um número real positivo.
Sabemos que a sequência [tex](\log_3 x,\log_9 9x,\log_{27} 27x)[/tex] é uma progressão aritmética. Calcule a soma desses três termos.
Lembretes
Propriedades do Logaritmo:
- [tex]\textcolor{#800000}{(1)}[/tex] Logaritmo do Produto: [tex]\boxed{\log_a (bc)=\log_ab+\log_a c}[/tex], com [tex]a,b,c \gt 0[/tex] e [tex]a\neq 1.[/tex]
- [tex]\textcolor{#800000}{(2)}[/tex] Mudança de Base: [tex]\boxed{\log_cb=\dfrac{\log_a b}{\log_a c}}[/tex], com [tex]a,b,c \gt 0[/tex] e [tex]a,c\neq 1.[/tex]
- [tex]\textcolor{#800000}{(3)}[/tex] Logaritmo da Potência: [tex]\boxed{\log_a b^n=n\log_a b}[/tex], com [tex]a,b \gt 0[/tex], [tex]a\neq 1[/tex] e [tex]n\in \mathbb{R}[/tex]
- [tex]\textcolor{#800000}{(4)}[/tex] [tex]\boxed{\log_a a=1},[/tex] com [tex]0\lt a \neq 1.[/tex]
Solução
Primeiramente, utilizando as propriedades do Lembrete, segue que:
[tex]\log_{9}9x=\log_9 9+\log_9 x=1+\log_9 x=1+\dfrac{\log_3 x}{\log_3 9}=1+\dfrac{\log_3 x}{2}=1+\dfrac{1}{2}\log_3 x.\;\;\;\;\;\;\; \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
[tex]\log_{27}27x=\log_{27} 27+\log_{27} x=1+\log_{27} x=1+\dfrac{\log_3 x}{\log_3 27}=1+\dfrac{\log_3 x}{3}=1+\dfrac{1}{3}\log_3 x.\;\;\;\;\;\;\; \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Como a sequência [tex](\log_3 x,\log_9 9x,\log_{27} 27x)[/tex] é uma progressão aritmética, sua razão é dada pela diferença de um elemento com o seu antecessor, então,
[tex]\log_9 9x-\log_3 x=\log_{27}27x-\log_9 9x.\;\;\;\;\;\; \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
Substituindo [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] obtemos que
[tex] \qquad 1+\frac{1}{2}\log_3x-\log_3 x=1+\frac{1}{3}\log_3 x-1 -\frac{1}{2} \log_3 x\\
\qquad 1+\frac{1}{2}\log_3x-\log_3 x=\frac{1}{3}\log_3 x -\frac{1}{2} \log_3 x\\
\qquad \frac{1}{2}\log_3x-\log_3 x-\frac{1}{3}\log_3 x+\frac{1}{2} \log_3 x=-1\\
\qquad -\frac{1}{3}\log_3 x=-1 \\
\qquad \frac{1}{3}\log_3 x=1\\
\qquad \boxed{\log_3 x=3}.
[/tex]
Assim, de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e de [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] obtemos que
[tex] \qquad \boxed{\log_9 9x}= 1+\dfrac{1}{2}\log_3 x=1+\dfrac{1}{2}\cdot 3= \boxed{\dfrac{5}{2}}[/tex]
e
[tex] \qquad \boxed{\log_{27} 27x}=1+\dfrac{1}{3}\log_3 x=1+\dfrac{1}{3}\cdot 3= \boxed{2} \, .[/tex]
Portanto, a soma dos termos da progressão aritmética é dada por
[tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\log_3 x+\log_9 9x+\log_{27} 27x= 3+\dfrac{5}{2}+2=\dfrac{15}{2}$} \, .[/tex]
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