.Probleminha: Número da casa

Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)

As amigas Noemi e Adriana adoram resolver problemas de Matemática. Assim, Noemi propôs o seguinte problema:

O número da minha casa é formado por três algarismos. Sabendo que o produto dos três algarismos é igual a [tex]120[/tex], que a soma dos algarismos da unidade e da dezena vale [tex]9[/tex] e que o algarismo da dezena é menor do que o algarismo da unidade, qual é o número da minha casa?

Você conseguiria descobrir o número da casa da Noemi?

Solução

Vamos denotar os algarismos das centena, dezena e unidade do número em questão por [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex], respectivamente. Do problema, temos que:

[tex]\boxed{ a\cdot b\cdot c =120} \qquad [/tex] e [tex]\qquad \boxed{ b+c=9, \;\mbox{com}\; b\lt c} \, .[/tex]

Como [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] são algarismos, são estas as opções que satisfazem a segunda condição:

[tex]b=0[/tex] e [tex]c=9[/tex];
[tex]b=1[/tex] e [tex]c=8[/tex];
[tex]b=2[/tex] e [tex]c=7[/tex];
[tex]b=3[/tex] e [tex]c=6[/tex];
[tex]b=4[/tex] e [tex]c=5[/tex].

Por outro lado, como [tex]a\cdot b\cdot c =120[/tex], temos que [tex]b\cdot c[/tex] divide [tex]120[/tex]. Mas [tex]0, \, 14[/tex] e [tex]18[/tex] não são divisores de [tex]120[/tex] e, com isso, as cinco opções acima se reduzem a duas:

[tex]b=1[/tex] e [tex]c=8[/tex] ;
[tex]b=4[/tex] e [tex]c=5[/tex].

No primeiro caso, teríamos [tex]a=120\div 8=15[/tex], o que é um absurdo, pois [tex]a,b[/tex] e [tex]c[/tex] são algarismos. Daí, [tex]b=4[/tex] e [tex]c=5[/tex], donde obtemos [tex]a=6[/tex].
Portanto, o número da casa de Noemi é [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$645$} \, .[/tex]

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.