.Sala de Estudo: Recorrências – Sala 3

Problemas envolvendo recorrência


menino

Nesta Sala, vamos apresentar problemas de Matemática que podem ser resolvidos utilizando-se recorrências.
Boa diversão a todos!

Problema 1


Em uma festa, todos os convidados se cumprimentam com um aperto de mãos. Se houve [tex]45[/tex] apertos de mãos, quantas pessoas estavam na festa?

Problema 2


De quantos modos podemos cobrir um tabuleiro [tex]2\times7[/tex] com peças iguais de dominós [tex]2\times1[/tex] ?

Problema 3


(OBMEP) Abaixo temos três figuras pentagonais: a primeira com [tex]5[/tex] pontos, a segunda com [tex]12[/tex] pontos e a terceira com [tex]22[/tex] pontos. Continuando esse processo de construção, a vigésima figura pentagonal terá [tex]651[/tex] pontos. Quantos pontos terá a vigésima primeira figura?

a) 656
b) 695
c) 715
d) 756
e) 769

Problema 4


(OBMEP) Fábio gosta de brincar em escadas, subindo ou descendo seus degraus da seguinte maneira:
• começa no degrau de número [tex]1[/tex];
• a cada movimento ele sobe ou desce um ou dois degraus e, ao subir ou descer dois degraus, não pisa no degrau intermediário;
• pisa em todos os degraus exatamente uma vez.

Por exemplo, em uma escada com três degraus ele pode brincar de duas maneiras diferentes: [tex]\boxed{1-2-3}[/tex], [tex]\boxed{1-3-2}[/tex]; com quatro degraus ele pode brincar de quatro maneiras diferentes: [tex]\boxed{1-2-3-4}[/tex], [tex]\boxed{1-2-4-3}[/tex], [tex]\boxed{1-3-2-4}[/tex] e [tex]\boxed{1-3-4-2}.[/tex]

a) Fábio pode brincar de seis maneiras diferentes em uma escada com cinco degraus. Descreva essas seis maneiras.

b) Explique por que sempre é possível terminar a brincadeira no degrau de número [tex]2[/tex] em qualquer escada com dois ou mais degraus.

c) Há [tex]31[/tex] e [tex]68[/tex] maneiras diferentes de se brincar em escadas com nove e onze degraus, respectivamente. De quantas maneiras diferentes Fábio pode brincar em uma escada com doze degraus?

Problema 5


Quantas são as sequências de dez termos, todos iguais a [tex]0[/tex] ou [tex]1[/tex], que possuem um número ímpar de termos iguais a [tex]0[/tex]?

menino

Agora é com vocês…
Tentem resolver os próximos problemas.
Bom trabalho, pessoal!

Problema proposto 1


Seja [tex]S_{n}[/tex] a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de [tex]n[/tex] lados.

a) Determine, em função de [tex]S_{n}[/tex], a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de [tex]n+1[/tex] lados [tex](S_{n+1});[/tex]

b) Sabendo que a soma dos ângulos internos de um polígono convexo com [tex]19[/tex] lados vale [tex]3060^{\circ}[/tex], calcule a soma dos ângulos internos para um polígono convexo de [tex]20[/tex] lados.

Problema proposto 2


O próximo problema é conhecido como “A PIZZA DE STEINER”, em homenagem ao matemático suíço Jakob Steiner (1796-1863).

a) Qual é o número máximo de pedaços em que uma pizza pode ser dividida por [tex]8[/tex] cortes retilíneos?

b) Sendo [tex]a_{n}[/tex] o número máximo de regiões nas quais [tex]n[/tex] cortes retilíneos podem dividir uma pizza, encontre uma relação de recorrência que expresse [tex]a_{n}[/tex] em função de [tex]a_{n-1}[/tex].

Problema proposto 3


a) Quantas são as sequências de [tex]6[/tex] termos, todos iguais a [tex]0[/tex], [tex]1[/tex] ou [tex]2[/tex], que possuem um número ímpar de termos iguais a [tex]0[/tex]?

b) Determine uma relação de recorrência que expressa o termo [tex]a_{n}[/tex] em função de [tex]a_{n-1}[/tex], sendo [tex]a_{n}[/tex] e [tex]a_{n-1}[/tex] o número de sequências de [tex]n[/tex] e [tex]n-1[/tex] termos, respectivamente, que possuem um número ímpar de termos iguais a [tex]0[/tex].

Problema proposto 4


(OBMEP– Adaptado) Um número natural é setespalhado quando não tem dois algarismos [tex]7[/tex] seguidos em sua representação decimal. Por exemplo, [tex]345[/tex], [tex]2071[/tex] e [tex]72347[/tex] são setespalhados, enquanto [tex]277304[/tex] e [tex]777[/tex] não são.

a) Quantos são os números setespalhados de [tex]2[/tex] algarismos?

b) Quantos são os números setespalhados de [tex]3[/tex] algarismos?

c) Quantos são os números setespalhados de [tex]4[/tex] algarismos nos quais o algarismo das unidades não é [tex]7[/tex]?

d) Seja [tex]a_{n}[/tex] a quantidade de números setespalhados de [tex]n[/tex] algarismos. Expresse [tex]a_{n}[/tex] em função de [tex]a_{n-1}[/tex] e [tex]a_{n-2}[/tex], para [tex]n \ge3[/tex].



Equipe COM – OBMEP

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