Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Encontre todas as soluções reais do sistema de equações abaixo.
\begin{cases}\begin{align*}x^2(x^2+x+1)&=28\\
x(x^3+x^2-1)&=22 \end{align*} \end{cases}
Solução
Observe que efetuando as multiplicações dos membros à direita nas equações do sistema original obtemos o sistema equivalente
\begin{cases}\begin{align*} x^4+x^3+x^2&=28\\
x^4+x^3-x&=22 \, .\end{align*} \end{cases}
Observe agora que, se [tex]x[/tex] é uma solução real deste sistema, então o número real [tex]x[/tex] deve satisfazer a igualdade
[tex]\qquad \qquad (x^4+x^3+x^2)-(x^4+x^3-x)=28-22[/tex].
Assim, [tex]x[/tex] satisfaz a igualdade [tex]x^2+x-6=0[/tex]. Resolvendo esta equação do segundo grau encontramos que os únicos valores possíveis para [tex]x[/tex] são:
[tex] \qquad x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2}[/tex]
[tex] \qquad x=\dfrac{-1\pm 5}{2}[/tex]
[tex]\qquad x=2[/tex] ou [tex]x=-3.[/tex]
Testando estes valores no sistema de equações original, podemos concluir que a única solução é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=2$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.