.Problemão: Sistema polinomial

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

Encontre todas as soluções reais do sistema de equações abaixo.
$$\begin{cases}\begin{align*}x^2(x^2+x+1)&=28\\ x(x^3+x^2-1)&=22 \end{align*} \end{cases}$$

Solução

Observe que efetuando as multiplicações dos membros à direita nas equações do sistema original obtemos o sistema equivalente
$$\begin{cases}\begin{align*} x^4+x^3+x^2&=28\\ x^4+x^3-x&=22 \, .\end{align*} \end{cases}$$

Observe agora que, se $x$ é uma solução real deste sistema, então o número real $x$ deve satisfazer a igualdade

$\qquad \qquad (x^4+x^3+x^2)-(x^4+x^3-x)=28-22$.

Assim, $x$ satisfaz a igualdade $x^2+x-6=0$. Resolvendo esta equação do segundo grau encontramos que os únicos valores possíveis para $x$ são:

$\qquad x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2}$

$\qquad x=\dfrac{-1\pm 5}{2}$

$\qquad x=2$ ou $x=-3.$

Testando estes valores no sistema de equações original, podemos concluir que a única solução é $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=2$} \, .$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.