.Problema: Asteriscos perfeitos

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)


Uma operação [tex]\textcolor{red}{\ast}[/tex] é definida no conjunto dos números naturais da seguinte forma:

  • Dados dois números naturais [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex], então [tex]\boxed{m \textcolor{red}{\ast} n=m\cdot (n+1)} \, .[/tex]

A partir dessa definição, diremos que um número natural [tex]y[/tex] é um asterisco perfeito se existir um número natural [tex]x[/tex] tal que [tex]x\textcolor{red}{\ast}x=y[/tex].
O número [tex]2383749037438494[/tex] é um asterisco perfeito?

Solução


Uma forma de resolver esta questão seria tentar encontrar um número natural [tex]x[/tex] tal que
[tex]\qquad x\ast x=x \cdot (x+1)=x^2+x=2383749037438494[/tex]
ou
[tex]\qquad x^2+x-2383749037438494=0.[/tex]
Entretanto, aplicar a fórmula de resolução de equações do segundo grau a esta equação e fazer os cálculos diretamente seria muito trabalhoso, devido à extração de uma raiz quadrada envolvendo o gigantesco número [tex]2383749037438494:[/tex]

[tex]\sqrt{1^2+4 \times 2383749037438494}.[/tex]

Outra forma de resolvermos o problema proposto consiste em estudar o algarismo das unidades dos chamados números asteriscos perfeitos. Para isso, perceba que [tex]\boxed{x \textcolor{red}{\ast} x=x\cdot (x+1)} \, [/tex] e que:

  • [tex]\boxed{…0 }\textcolor{red}{\ast} \boxed{…0}=\boxed{…0}\times\boxed{ …1}=\boxed{…\textcolor{blue}{0}}[/tex]
  • [tex]\boxed{…1 }\textcolor{red}{\ast} \boxed{…1}=\boxed{…1}\times\boxed{ …2}=\boxed{…\textcolor{blue}{2}}[/tex]
  • [tex]\boxed{…2 }\textcolor{red}{\ast} \boxed{…2}=\boxed{…2}\times\boxed{ …3}=\boxed{…\textcolor{blue}{6}}[/tex]
  • [tex]\boxed{…3 }\textcolor{red}{\ast} \boxed{…3}=\boxed{…3}\times\boxed{ …4}=\boxed{…\textcolor{blue}{2}}[/tex]
  • [tex]\boxed{…4 }\textcolor{red}{\ast} \boxed{…4}=\boxed{…4}\times\boxed{ …5}=\boxed{…\textcolor{blue}{0}}[/tex]
  • [tex]\boxed{…5 }\textcolor{red}{\ast} \boxed{…5}=\boxed{…5}\times\boxed{ …6}=\boxed{…\textcolor{blue}{0}}[/tex]
  • [tex]\boxed{…6 }\textcolor{red}{\ast} \boxed{…6}=\boxed{…6}\times\boxed{ …7}=\boxed{…\textcolor{blue}{2}}[/tex]
  • [tex]\boxed{…7 }\textcolor{red}{\ast} \boxed{…7}=\boxed{…7}\times\boxed{ …8}=\boxed{…\textcolor{blue}{6}}[/tex]
  • [tex]\boxed{…8 }\textcolor{red}{\ast} \boxed{…8}=\boxed{…8}\times\boxed{ …9}=\boxed{…\textcolor{blue}{2}}[/tex]
  • [tex]\boxed{…9 }\textcolor{red}{\ast} \boxed{…9}=\boxed{…9}\times\boxed{ …0}=\boxed{…\textcolor{blue}{0}}.[/tex]

Dessa forma, concluímos que um número asterisco perfeito nunca possui o [tex]\textcolor{blue}{4}[/tex] como algarismo das unidades e, portanto, o número [tex]2383749037438494[/tex] não pode ser um asterisco perfeito.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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