Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
- Todo número inteiro é par ou ímpar.
Óbvio, não? A partir dessa simples afirmação, é possível garantir se existe alguma solução somente com números inteiros para a equação [tex]a \cdot b \cdot(a-b)=4505[/tex]?
Solução
Inicialmente, note que o número [tex]4505[/tex] é ímpar. Portanto, para que exista solução para a equação [tex]a \cdot b \cdot(a-b)=4505[/tex], o produto [tex]a \cdot b \cdot(a-b)[/tex] deve resultar em um número ímpar.
Vamos analisar esse produto, considerando os quatro casos possíveis quanto à paridade de [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex]:
Caso 1: Se [tex]a[/tex] for par e [tex]b[/tex] for par, então [tex](a-b)[/tex] é par. Logo, o produto [tex]a \cdot b \cdot(a-b)[/tex] é par.
Caso 2: Se [tex]a[/tex] for par e [tex]b[/tex] for ímpar, então [tex](a-b)[/tex] é ímpar. Logo, o produto [tex]a \cdot b \cdot(a-b)[/tex] é par.
Caso 3: Se [tex]a[/tex] for ímpar e [tex]b[/tex] for par, então [tex](a-b)[/tex] é ímpar. Logo, o produto [tex]a \cdot b \cdot(a-b)[/tex] é par.
Caso 4: Se [tex]a[/tex] for ímpar e [tex]b[/tex] for ímpar, então [tex](a-b)[/tex] é par. Logo, o produto [tex]a \cdot b \cdot(a-b)[/tex] é par.
Esgotadas as possibilidades quanto à paridade de [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], percebemos que o produto [tex]a \cdot b \cdot(a-b)[/tex] nunca será ímpar.
Logo, a equação [tex]a \cdot b \cdot(a-b)=4505[/tex] não possui solução inteira.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.