Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)
Cada uma das letras [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex] e [tex]D[/tex], nesta multiplicação, representa um algarismo diferente:
\begin{array}{c}
ABCD\\
\times\;\;\;\;\; 9\\
\hline
DCBA
\end{array}
Encontre o valor da soma [tex]A+B+C+D.[/tex]
Solução
Inicialmente, repare que [tex]9 \times D[/tex] tem como algarismo da unidade [tex]A[/tex]. Portanto, se [tex]A=0[/tex], então [tex]D=0[/tex], o que contraria o enunciado de “algarismos diferentes para letras diferentes”.
Note também que o resultado final da multiplicação possui [tex]4[/tex] algarismos. Logo, [tex]A[/tex] não pode ser um número maior do que ou igual a [tex]2[/tex]. Como [tex]A \not =0[/tex], concluímos que [tex]A=1[/tex] e, obrigatoriamente, [tex]D=9[/tex].
\begin{array}{c}
1BC9\\
\times\;\;\;\;\; 9\\
\hline
9CB1
\end{array}
Perceba que [tex]B[/tex] também não pode ser um número maior do que ou igual a [tex]2[/tex]; pois, caso contrário, teríamos [tex]9\times B\geq 10[/tex], sendo necessário adicionar algum valor ao produto [tex]9 \times A[/tex] e com isso [tex]D \not = 9[/tex]. Assim, [tex]B=0[/tex] ou [tex]B=1[/tex]. Como [tex]A=1[/tex], temos que [tex]B=0[/tex], pois os algarismos devem ser diferentes.
\begin{array}{c}
10C9\\
\times\;\;\;\; 9\\
\hline
9C01
\end{array}
Para encerrar, note que devemos adicionar [tex]8[/tex] unidades ao produto [tex]9 \times C [/tex] e esse valor terá [tex]0[/tex] como algarismo da unidade. Logo, o produto [tex]9\times C[/tex] deve possuir unidade [tex]2[/tex], donde [tex]C=8[/tex].
\begin{array}{c}
1089\\
\times\;\;\; 9\\
\hline
9801
\end{array}
Assim, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$A+B+C+D=1+0+8+9=18$} \, .[/tex]
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