.Problema: Divisibilidade por 100

Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)


Considere o número natural [tex]n=11^{10}-1.[/tex] Mostre que esse número é divisível por [tex]100[/tex].

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Lembrete

Dada uma progressão geométrica finita, [tex](a_1,a_1q, a_1q^2,\cdots,a_1q^{n-1})[/tex], de razão [tex]q[/tex], a soma [tex]S[/tex] desses [tex]n[/tex] termos é dada por
\begin{equation}
S=(a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n-1})=\dfrac{a_1\cdot (q^n-1)}{q-1}.\hspace{4cm} \textcolor{#800000}{(1)}
\end{equation}

Solução


Para resolver esse problema vamos usar o conceito de progressão geométrica.
Considere a progressão geométrica [tex](1,11,11^2,\cdots,11^{9})[/tex] de razão [tex]11[/tex]. Vamos calcular a soma de seus [tex]10[/tex] termos, lembrando que o termo inicial é o [tex]1.[/tex] Então, pela fórmula [tex]\textcolor{#800000}{(1)}[/tex] do Lembrete, temos que
\begin{eqnarray}\nonumber
(1+11+11^2+\cdots + 11^{9})&=&\frac{1\cdot (11^{10}-1)}{11-1}\\ \nonumber
(1+11+11^2+\cdots + 11^{9})&=&\frac{1\cdot (11^{10}-1)}{10}\\
10\cdot (1+11+11^2+\cdots + 11^{9})&=&11^{10}-1\hspace{3.cm} \textcolor{#800000}{(2)}
\end{eqnarray}
Observe que o fator [tex](1+11+11^2+\cdots +11^{9})[/tex] é formado pela soma de dez números cujos algarismos da unidade são iguais a [tex]1[/tex]. Logo, a soma [tex](1+11+11^2+\cdots +11^{9})[/tex] é divisível por [tex]10[/tex].
Como [tex]10[/tex] e [tex](1+11+11^2+\cdots +11^{9})[/tex] são ambos divisíveis por [tex]10[/tex], então [tex]10 \cdot (1+11+11^2+\cdots +11^{9})[/tex] é divisível por [tex]100[/tex].
Portanto, da igualdade [tex]\textcolor{#800000}{(2)}[/tex], concluímos que [tex]11^{10}-1[/tex] é divisível por [tex]100[/tex].


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Participou da discussão o Clube OCTETO MATEMÁTICO.

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