Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
(Livro: Introdução à Análise Combinatória – Adaptado) Sobre uma reta [tex]r[/tex] foram marcados os pontos distintos [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex] e [tex]D[/tex], e sobre uma reta [tex]s[/tex], concorrente a [tex]r[/tex] no ponto [tex]A[/tex], foram marcados os pontos [tex]F[/tex], [tex]G[/tex], [tex]H[/tex] e [tex]J[/tex].
Determine a quantidade de triângulos que podemos formar com todos esses pontos.
Solução 1
De acordo com o enunciado, as retas e os respectivos pontos podem ser desenhados como na figura a seguir. Notemos que qualquer outro rearranjo desses pontos, respeitando as condições do enunciado, não alterará a solução.
Sabemos que para obtermos um triângulo precisamos de três pontos não colineares. Além disso, observemos por exemplo que o triângulo formado pelos pontos [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] e [tex]J[/tex] é o mesmo triângulo formado pelos pontos [tex]B[/tex], [tex]J[/tex] e [tex]A[/tex], ou seja, a ordem de escolha destes pontos para a formação do triângulo não importa. Então, para solucionarmos o problema, utilizaremos o conceito de Combinação Simples.
Neste caso, dispomos de [tex]8[/tex] pontos para formarmos triângulos. Vamos então calcular a combinação desses [tex]8[/tex] pontos tomados [tex]3[/tex] a [tex]3[/tex], isto é [tex]C_{8,3}[/tex], e desse número vamos subtrair os casos em que não obtemos triângulos, ou seja, os casos nos quais os três pontos forem colineares (por exemplo, os pontos [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex]).
Temos que os pontos [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex] e [tex]D[/tex] são colineares. Logo, desses [tex]4[/tex] pontos tomados [tex]3[/tex] a [tex]3[/tex] não obteremos triângulos. Da mesma maneira, os pontos [tex]A[/tex], [tex]F[/tex], [tex]G[/tex], [tex]H[/tex] e [tex]J[/tex] são colineares. Logo, desses [tex]5[/tex] pontos tomados [tex]3[/tex] a [tex]3[/tex] não obteremos triângulos.
Assim, o número [tex]T[/tex] de triângulos que procuramos é dado por:
[tex]\qquad \begin{eqnarray*}T&=&C_{8,3}-C_{4,3}-C_{5,3}=\dfrac{8!}{3!(8-3)!}-\dfrac{4!}{3!(4-3)!}-\dfrac{5!}{3!(5-3)!}\\
&=&\dfrac{8!}{3!5!}-\dfrac{4!}{3!1!}-\dfrac{5!}{3!2!}=\dfrac{8\cdot 7\cdot 6\cdot \cancel{5!}}{3\cdot 2\cdot 1\cdot \cancel{ 5!}}-\dfrac{4\cdot \cancel{ 3!}}{\cancel{3!}\cdot1}-\dfrac{5\cdot 4\cdot \cancel{3!}}{\cancel{3!}\cdot 2\cdot 1}\\
&=&\dfrac{336}{6}-4-\dfrac{20}{2}= 56-4-10=42.
\end{eqnarray*}[/tex]
Portanto, o número de triângulos formados é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$42$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
- (1) Primeiramente vamos desconsiderar o ponto [tex]A[/tex], interseção de [tex]r[/tex] e [tex]s[/tex]. Assim, teremos quatro pontos em [tex]s[/tex] e três pontos em [tex]r[/tex].
- dois pontos em [tex]r[/tex] e um ponto em [tex]s[/tex]
- dois pontos em [tex]s[/tex] e um ponto em [tex]r[/tex].
Para formar um triângulo, precisamos de três pontos não colineares. Vamos escolher esses pontos de duas maneiras:
Além disso, como, por exemplo, [tex]\triangle ABJ[/tex] e [tex]\triangle BAJ[/tex] são o mesmo triângulo, a ordem dos pontos não importa e, portanto, usaremos combinação simples.
Calculando, temos
[tex]\qquad T_1 = C_{4, 1}\cdot C_{3, 2} + C_{3, 1}\cdot C_{4, 2}= 12 +18= 30[/tex]
e, assim, podemos obter [tex]\boxed{30}[/tex] triângulos que não possuem vértice no ponto [tex]A.\\
[/tex]
(2) Agora, determinamos todos os triângulos que possuem vértice no ponto [tex]A[/tex].
Como [tex]A\in{r,s}[/tex], então, para formar o triângulo, devemos escolher um ponto de cada uma das retas [tex]r[/tex] e [tex]s[/tex]. Assim, escolhido o ponto [tex]A[/tex], sobram 3 opções de escolha para o vértice em [tex]r[/tex] e 4 para o vértice em [tex]s[/tex].
Calculando, há [tex]\boxed{T_A = 3\times 4 = 12}[/tex] triângulos formados com vértice em [tex]A[/tex].
Dessa forma, por (1) e (2), o total de triângulos formados pelos pontos pertencentes às retas [tex]r[/tex] e [tex]s[/tex] será:
[tex]T = T_1 + T_A = 30 + 12 = \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$42$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.