Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Uma progressão aritmética de segunda ordem é uma sequência de números tal que a diferença entre termos consecutivos é uma progressão aritmética.
(a) Mostre que [tex](4, \, 6, \, 11, \, 19, \, 30,\, 44)[/tex] é uma progressão aritmética de segunda ordem.
(b) Ache o décimo termo da progressão aritmética de segunda ordem [tex](4, \, 6, \, 11, \, 19, \, 30,\, 44, \, \cdots)[/tex].
(c) Mostre que o termo geral da PA de segunda ordem [tex] (4,\, 6 ,\, 11,\, 19, \, 30,\, 44, \cdots) [/tex] é dado por [tex] a_{n+1} = \dfrac{3}{2}n^2+\dfrac{1}{2}n+4[/tex].
(d) Prove que o termo geral de uma progressão aritmética de segunda ordem [tex](a_1, \, a_2, \, a_3, \, a_5, \, \cdots)[/tex] se escreve como [tex]\boxed{ \, a_{n+1}=an^2+bn+c \, }[/tex], em que [tex]a, \, b[/tex] e [tex]c[/tex] são constantes.
Solução
(a) Para mostrarmos que [tex](4, \, 6, \, 11, \, 19,\, 30, \, 44)[/tex] é uma progressão aritmética finita de segunda ordem, basta mostrarmos que a diferença dos termos sucessivos dessa sequência é uma progressão aritmética.
Com efeito, veja que a sequência formada pela diferença dos termos sucessivos da sequência em questão é [tex](2, \, 5, \, 8, \, 11, \, 14)[/tex], que é uma PA de razão [tex]3[/tex].
(b) Observe que a diferença entre termos sucessivos da sequência em questão é dada por uma progressão aritmética cujo primeiro termo é [tex]2[/tex] e a razão [tex]3[/tex]. Assim, construindo os nove primeiros termos da PA dessas diferenças, temos: [tex]2, \, 5, \, 8, \, 11, \, 14, \, 17, \, 20, \, 23, \, 26[/tex].
Podemos então encontrar o décimo termo da PA de segunda ordem calculando os termos anteriores à ele. Alguns já conhecemos:
[tex]\qquad \qquad (4, \, 6, \, 11, \, 19, \, 30, \, 44, \, 61, \, 81, \, 104, \, \, \boxed{130} \, ,\cdots).[/tex]
Logo, o décimo termo solicitado na questão é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$130$} \, .[/tex]
(c) A PA [tex] (2, \, 5, \, 8, \, 11, \, 14, \cdots ) [/tex] de razão [tex]3[/tex] e termo geral [tex] b_{n} =3n-1[/tex] é formada pelas diferenças dos termos consecutivos da PA de segunda ordem [tex] (4, \, 6 , \, 11, \, 19, \, 30, \, 44, \cdots) [/tex].
Dessa forma, tem-se:
[tex]\qquad 4=4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textcolor{#800000}{(i_1)}[/tex]
[tex]\qquad 6 – 4 = 2 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textcolor{#800000}{(i_2)}[/tex]
[tex]\qquad 11 – 6 = 5 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textcolor{#800000}{(i_3)} [/tex]
[tex]\qquad … [/tex]
[tex]\qquad a_{n+1} – a_n=3n-1. \, \, \, \, \, \textcolor{#800000}{(i_{n+1})} [/tex]
Somando-se as igualdades [tex]\textcolor{#800000}{i_1, i_2 , i_3 , \cdots, i_{n+1}}[/tex], obtemos:
[tex]\qquad \cancel{4}+\cancel{6}-\cancel{4}+\cancel{11}-\cancel{6}+\cdots+a_{n+1}-\cancel{a_n}=4+(2+5+\cdots +(3n-1))\\
\qquad a_{n+1}=4+(2+(2+3)+(2+3\cdot 2)+\cdots+ (2+3\cdot(n-1)))\\
\qquad a_{n+1}=4+2n+3\cdot (1+2+\cdots+(n-1))\,.[/tex]
Realizando a soma [tex]1+2+3+\cdots+(n-1)[/tex], temos:
[tex]\qquad a_{n+1}=4+2n+3\cdot \dfrac{(n-1)n}{2}[/tex],
logo, [tex] a_{n+1}= \dfrac{3}{2}n^2+\dfrac{1}{2}n+4[/tex].
(d) Vamos denotar por [tex](b_1, \, b_2, \cdots) [/tex] a progressão aritmética de razão [tex]r[/tex] formada pela diferença dos termos da progressão aritmética de [tex]2^a[/tex] ordem [tex](a_1, \, a_2, \cdots) \, .[/tex] Desta forma, temos que:
- [tex] \boxed{a_2-a_1=b_1}; \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
- [tex]a_3-a_2=b_2[/tex]. Como [tex]b_2=b_1+r[/tex], então [tex]\boxed{a_3-a_2=b_1+r}, \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
- [tex] a_4-a_3=b_3[/tex]. Como [tex]b_3=b_2+r[/tex], então [tex]\boxed{a_4-a_3=b_1+2r}, \qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
- [tex] a_5-a_4=b_4[/tex]. Como [tex]b_4=b_3+r[/tex], então [tex]\boxed{a_5-a_4=b_1+3r}, \qquad \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex]
e generalizando essas diferenças:
- [tex]\boxed{a_{n+1}-a_n=b_1+(n-1)r} \, . \qquad \textcolor{#800000}{(x)}[/tex]
Somando as igualdades [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex] \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], obtemos
[tex]\qquad a_2-a_1+a_3-a_2=b_1+b_2 \\
\qquad \boxed{a_3-a_1=b_1+b_2}.[/tex]
O resultado anterior podemos somar à igualdade [tex] \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] , obtendo
[tex]\qquad a_3-a_1+a_4-a_3=b_1+b_2+b_3 \\
\qquad \boxed{a_4-a_1=b_1+b_2+b_3} \, .[/tex].
Procedendo de maneira análoga até a igualdade [tex] \textcolor{#800000}{(x)}[/tex], obtemos [tex]\boxed{a_{n+1}-a_1 = b_1+b_2+\cdots+b_n}.[/tex]
Como [tex](b_1, \, b_2, \cdots )[/tex] é uma progressão aritmética de razão [tex]r[/tex], podemos escrever
[tex]\quad b_2=b_1+r [/tex]
[tex]\quad b_3=b_1+2r [/tex]
[tex]\quad b_4=b_1+3r [/tex]
[tex]\quad \cdots [/tex]
[tex]\quad b_n=b_1+(n-1)r [/tex],
e assim obtemos:
[tex]\quad a_{n+1}-a_1 = b_1+b_2+\cdots+b_n=b_1+b_1+r+b_1+2r+\cdots+b_n+(n-1)r[/tex]
[tex]\quad a_{n+1}-a_1 = n b_1+r(1+2+3+\cdots+(n-1)).[/tex]
Realizando a soma [tex] \mathbf{1+2+3+\cdots+(n-1)}[/tex], temos:
[tex]\qquad a_{n+1}-a_1 = n b_1+r\dfrac{n(n-1)}{2}[/tex]
[tex]\qquad a_{n+1} = r\dfrac{n(n-1)}{2}+n b_1+a_1[/tex]
[tex]\qquad a_{n+1} = \dfrac{r}{2}n^2-\dfrac{r}{2}n+nb_1+a_1[/tex]
[tex]\qquad a_{n+1} = \dfrac{r}{2}n^2+\left(-\dfrac{r}{2}+b_1\right)n+a_1[/tex].
Finalmente, se fizermos [tex]a=\dfrac{r}{2}[/tex], [tex]b=b_1-\dfrac{r}{2}[/tex] e [tex]c=a_1[/tex], segue que:
[tex] \quad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a_{n+1}=an^2+bn+c$} \, [/tex], em que [tex]a, \, b[/tex] e [tex]c[/tex] são constantes.
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