.Problema para ajudar na escola: Canteiros de uma pracinha

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Fácil )

O círculo tem $4 \, m$ de raio e os canteiros e as calçadas foram construídos a partir de ângulos centrais com a mesma medida.
Para proteção das plantinhas, que ainda estão crescendo, serão colocadas cercas nas linhas marrons que contornam os canteiros, conforme mostra a figura.
Quantos metros de cerca serão necessários?
Para efeito de cálculos, utilize $\, \pi=3,14 \,$ e expresse o resultado em um número inteiro de metros.

Solução

As figuras que representam os três canteiros e as três calçadas são o que chamamos na Matemática de setores circulares. Mais precisamente, setores circulares menores. (Se necessário, clique AQUI para aprender um pouco mais sobre setor circular.) Como os seis setores foram construídos a partir de ângulos centrais com a mesma medida, os ângulos que os definem medem $\dfrac{360^\circ}{6}=60^\circ$ cada. Precisamos, então, calcular o perímetro de um setor circular definido por um ângulo de $60^\circ$.
Perceba que o perímetro de cada setor circular é a soma de duas medidas do raio da circunferência e do comprimento de um arco dessa mesma circunferência correspondente a $60^\circ$, conforme ilustra a figura ao lado.
Como a medida do raio é $4 \, m$, para resolver este problema, precisaremos calcular o comprimento de arco, ou seja, a medida linear do arco em questão. Pra isso, utilizaremos a Ajuda e uma regra de três simples:

$\begin{array}{c c c} \text{comprimento da circunferência} &\text{————–}&360^\circ\\ \text{comprimento do arco} &\text{————–}& 60^\circ \end{array}$.

Para os cálculos, precisaremos do comprimento $c$ de uma circunferência de raio $4 \, m$:
$\qquad c=2\times \pi \times r$
$\qquad c=2\times 3,14 \times 4$
$\qquad c=25,12 \, m \, .$
Agora, se denotarmos o comprimento em metros do arco de circunferência em questão por $l$, podemos reescrever a nossa regra da três da seguinte forma:

$\begin{array}{c c c} 25,12 \, m \, &\text{————–}&360^\circ\\ l &\text{————–}& 60^\circ \end{array}$

obtendo que:
$\quad 25,12 \, m \times 60^\circ=l \times 360^\circ$

$\quad l=\dfrac{25,12 \, m \times 60^\circ}{360^\circ}$

$\quad \boxed{l=\dfrac{25,12}{6}m} \, .$
Com isso, o perímetro de cada setor circular, que é a quantidade $Q$ de cerca a ser comprada para cada canteiro, é dado por:
$\qquad \boxed{Q=8+\dfrac{25,12}{6}} \, .$
Como são três canteiros, serão necessários
$\qquad 3 \times \left(8+\dfrac{25,12}{6}\right)=24+12,56=\boxed{36,56}$ metros de tela.
Para finalizar, observe que $36 \lt \boxed{36,56} \lt 37$; portanto, serão necessários $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$37 \text{ metros }$}$ de cerca para isolar os três canteiros e proteger as plantinhas.

O comprimento em metros $l$ do arco da circunferência relativo a cada canteiro poderia ser obtido observando-se que, como os ângulos centrais que definem os canteiros têm a mesma medida, então cada um dos seis arcos corresponde a $\frac{1}{6}$ do comprimento total da circunferência.
Assim:
$\qquad l=\dfrac{2 \pi r}{6}= \dfrac{2 \times 3,14 \times 4}{6}=\dfrac{25,12}{6} \, m.$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.