Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
(OBM) Se [tex]n\gt 4[/tex] é um número não primo, justifique a afirmação de que [tex](n-1)![/tex] é múltiplo de [tex]n[/tex].
Solução
Como [tex]n[/tex] é um número não primo, podemos escrevê-lo como [tex]n=a\times b[/tex] de tal forma que [tex]a,b \in \mathbb{N} [/tex], com [tex]a\gt 1[/tex] e [tex] \, b\gt 1[/tex].
Podemos considerar, sem perda de generalidade, que [tex]a\le b[/tex]. Assim, temos duas possibilidades:[tex]\boxed{a\neq b} \, ; \, \boxed{a=b} \, .[/tex]
- Se [tex]a\neq b [/tex], então
[tex]\qquad (n-1)!=1\times2\times\cdots \times a\times \cdots\times b\times \cdots\times (n-1)[/tex]
e, assim, observamos que [tex]a\times b[/tex] é um divisor de [tex](n-1)![/tex].
Dessa forma, [tex]n[/tex] é um divisor de [tex](n-1)![/tex], o que equivale a dizer que [tex](n-1)![/tex] é múltiplo de [tex]n.[/tex] - Se [tex]a=b[/tex], então [tex]n=a^2[/tex] e [tex]a\lt n[/tex].
Observe que [tex]2a\lt n[/tex], pois, caso contrário, teríamos [tex]2a\ge n[/tex] e também a seguinte sequência de implicações
[tex]\qquad \qquad 2a\ge n \Rightarrow 4a^2\ge n^2 \Rightarrow 4n\ge n^2\Rightarrow 4\ge n[/tex],
o que levaria a uma contradição da hipótese [tex]n\gt 4.[/tex]
Assim,
[tex]\qquad \qquad (n-1)!=1\times2\times\cdots\times a\times\cdots\times 2a\times\cdots\times (n-1)[/tex],
ou seja, [tex]n=a^2[/tex] é divisor de [tex](n-1)! \, .[/tex]
Portanto, em qualquer dos casos, fica garantido que [tex](n-1)![/tex] é múltiplo de [tex]n.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.