Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(ENEM– adaptado) O matemático americano Eduardo Kasner (1878-1955) pediu ao sobrinho que desse um nome a um número muito grande, que consistia no algarismo [tex]1[/tex] seguido de [tex]100[/tex] zeros: o número foi batizado como [tex]gugol[/tex]. Mais tarde, o mesmo matemático criou um número que apelidou de [tex]gugolplex[/tex], que consistia em [tex]10[/tex] elevado a um [tex]gugol[/tex].
Quantos algarismos possui um [tex]gugolplex[/tex]?
Solução
Repare que o número [tex]10^{n}[/tex], escrito na forma decimal, é o algarismo [tex]1[/tex] seguido de [tex]n[/tex] algarismos zero.
Vamos escrever o número [tex]gugol[/tex] na sua forma decimal e também em forma de potência:
[tex]gugol=1\underbrace{00\cdots 00}_{100 \, zeros}[/tex][tex]=10^{100}.[/tex]
Como o [tex]gugolplex[/tex] foi definido como [tex]10[/tex] elevado a um [tex]gugol[/tex], segue que:
[tex]gugolplex=10^{10^{100}}=1\underbrace{00\cdots00}_{10^{100} \, zeros}[/tex].
Portanto, um [tex]gugolplex[/tex] possui [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{${10^{100}}+1$}[/tex] algarismos.
Observe que, como [tex]gugol=10^{100}[/tex], o total de algarismos do [tex]gugolplex[/tex] é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$gugol+1$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participou da discussão o Clube OCTETO MATEMÁTICO.