.Problemão: Equação determinante

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)

Seja a função [tex]f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] definida por

[tex] f(x)=Det \left[ \begin{array}{cccc}
1& 2 & 4 & 8 \\
1 & 3 & 9 & 27\\
1 & 4 & 16 & 64 \\
1 & x& x^2 & x^3\end{array} \right][/tex].

Encontre três soluções para a equação [tex]f(x)=0.[/tex]

Solução 1

Para encontrar raízes da função [tex]f[/tex], basta usar a propriedade dos determinantes que garante que

• Se uma matriz quadrada [tex]A[/tex] possui duas linhas idênticas, então [tex]Det A=0[/tex].

Desta propriedade segue facilmente que

[tex]\qquad \qquad f(2)=Det \left[ \begin{array}{cccc}
1& 2 & 4 & 8 \\
1 & 3 & 9 & 27\\
1 & 4 & 16 & 64 \\
1 & 2& 4 & 8\end{array} \right]=0,[/tex]

pois a primeira linha e a quarta linha da matriz são idênticas.
De forma análoga, podemos concluir que [tex]x=3[/tex] e [tex]x=4[/tex] também são raízes:

[tex]\qquad f(3)=Det \left[ \begin{array}{cccc}
1& 2 & 4 & 8 \\
1 & 3 & 9 & 27\\
1 & 4 & 16 & 64 \\
1 & 3 & 9 & 27\end{array} \right]=0,
\qquad f(4)=Det \left[ \begin{array}{cccc}
1& 2 & 4 & 8 \\
1 & 3 & 9 & 27\\
1 & 4 & 16 & 64 \\
1 & 4 & 16 & 64\end{array} \right]=0,
[/tex]

Logo, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=2$} \, [/tex], [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=3$} \, [/tex] e [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=4$} \, [/tex] são três raízes da equação [tex]f(x)=0.[/tex]

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

Observe que a matriz em questão é uma matriz de Vandermonde (veja o problema 2.4 da página 220 deste texto)
Portanto, seu determinante é calculado pelo produto:
[tex]\qquad \qquad (x-4) \cdot (x-3)\cdot(x-2)\cdot(4-3)\cdot(4-2)\cdot(3-2)[/tex]
Assim,
[tex]\qquad \qquad f(x)=(x-4) \cdot (x-3)\cdot(x-2)\cdot1\cdot2\cdot1[/tex]
Dessa forma, para encontrar as soluções da equação [tex]f(x)=0[/tex], basta fazer:
[tex]\qquad \qquad (x-4) \cdot (x-3)\cdot(x-2)\cdot1\cdot2\cdot1=0[/tex]
Portanto, as soluções para a equação [tex]f(x)=0[/tex] são dadas por:

• [tex]x-4=0 [/tex], donde [tex]x=4[/tex];
• [tex]x-3=0 [/tex], donde [tex]x=3[/tex];
• [tex]x-2=0 [/tex], donde [tex]x=2[/tex].

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.