.Problema: Composição de funções

Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)


(Unifesp – Adaptado) Seja [tex]A[/tex] o conjunto dos números reais diferentes de [tex]1[/tex] e considere a função [tex]f:A\rightarrow A[/tex] dada por [tex]f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}[/tex].
Para um inteiro positivo [tex]n[/tex], definimos [tex]f^n(x)[/tex] por:

[tex]\qquad f^n(x)=\left\{\begin{array}{c c}
f(x), &\textrm{ se } n=1\\
f(f^{n-1}(x)),& \textrm{ se } n\gt 1
\end{array}\right. \, \, [/tex].

Encontre [tex]f^{2018}(x)[/tex].

Solução


Observe que, pela regra de recorrência definida, temos [tex]f^2(x)=f(f(x)).[/tex] Por outro lado, realizando a composição de funções, obtemos:

[tex]\qquad f(f(x))=\dfrac{\dfrac{x+1}{x-1}+1}{\dfrac{x+1}{x-1}-1} \, \, [/tex],
assim, simplificando a expressão, segue que:

[tex]\qquad f^2(x)=f(f(x))=\dfrac{\dfrac{x+1+x-1}{x-1}}{\dfrac{x+1-x+1}{x-1}}=\dfrac{\dfrac{2x}{x-1}}{\dfrac{2}{x-1}}=\dfrac{2x}{\cancel{x-1}}\times\dfrac{\cancel{x-1}}{2} =x[/tex].
Consequentemente, temos que:
[tex]\qquad f^3(x)=f(f^2(x))=f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}[/tex].

Perceba que, seguindo a ideia acima, obtemos o seguinte padrão:

[tex]\qquad f^n(x)=\left\{\begin{array}{c c}
x, &\textrm{ se n par }\\
\dfrac{x+1}{x-1},& \text{ se n ímpar.}
\end{array}\right.[/tex]

Como [tex]2018[/tex] é par, segue que [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \, f^{2018}(x)=x \, $} \, .[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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