.Probleminha: Sequência de Bolinhas

Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)

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Lúcia notou que cada número da sequência $1 \, , \, 3 \, , \, 6 \, , \, 10 \, , \, \cdots$ pode ser modelado por meio de um conjunto de bolinhas que, dispostas convenientemente, formam um triângulo, conforme ilustra a figura mostrada abaixo.

Seguindo o mesmo padrão, quantas bolinhas terá o triângulo associado ao décimo termo dessa sequência numérica?

Solução 1

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A partir da construção dos triângulos, percebemos que a sequência numérica observada por Lúcia pode ser assim definida:

$\qquad 1^\circ$ termo: $1$;
$\qquad 2^\circ$ termo: $1 + 2 = 3$;
$\qquad 3^\circ$ termo: $1 + 2 + 3 = 6$;
$\qquad 4^\circ$ termo: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$;
$\qquad 5^\circ$ termo: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$;
$\qquad 6^\circ$ termo: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$;
$\qquad 7^\circ$ termo: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28$;
$\qquad 8^\circ$ termo: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36$;
$\qquad 9^\circ$ termo: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$;
$\qquad 10^\circ$ termo: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55.$

Dessa forma, a representação do décimo termo da sequência tem $55$ bolinhas e, portanto, o décimo termo da sequência é exatamente o $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \, 55 \, $} \, .$

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

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O décimo termo da sequência em questão terá $55$ bolinhas; pois, se seguirmos a sequência, descobriremos que a base do décimo termo corresponde ao número de $10$ bolinhas, sendo que se forma um triângulo no qual em cada carreira será diminuída uma bolinha.
Portanto:
$\qquad 10+9+8+7+6+5+4+3+2+1= 55$ bolinhas no total.

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Solução elaborada pelo COM OCTETO MATEMÁTICO, com contribuições dos Moderadores do Blog.