Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Mostre que o número [tex] \underbrace {11 \dots 1}_{\substack{(n-1)\\ \text{algarismos}}}\underbrace {222 \dots 2}_{\substack{n\\
\text{algarismos}}} 5 [/tex] é um quadrado perfeito.
Solução
Observe que
[tex]\begin{array}{r r r r r r r r r r}
1&1&\cdots &1&2&2&\cdots&2&2& \, +\\
&&&&&&&&3&\\
\hline
1&1&\cdots&1&2&2&\cdots&2& 5\\
\end{array} \quad \text{e}\quad
\begin{array}{r r r r r r r r r }
1&1&\cdots&1&1&\cdots&1&1& \,\,+\\
&&&&1&\cdots&1&1\\
\hline
1&1&\cdots&1&2&\cdots&2&2\\
\end{array}
[/tex]
assim, em particular, podemos escrever o número [tex]x = \underbrace {11 \dots 1}_{\substack{(n-1)\\
\text{algarismos}}}\underbrace {222 \dots 2}_{\substack{n\\
\text{algarismos}}}5[/tex] da seguinte forma:
[tex]\qquad x = \underbrace {11 \dots 1}_{\substack{(n-1)\\
\text{algarismos}}}\underbrace {222 \dots 2}_{\substack{(n+1)\\
\text{algarismos}}}+3[/tex]
[tex]\qquad x = \left(\underbrace {11 \dots 1}_{\substack{(n-1)\\
\text{algarismos}}}\underbrace {11 \dots 1}_{\substack{(n+1)\\
\text{algarismos}}}\right)+ \left(\underbrace {111 \dots 1}_{\substack{(n+1)\\
\text{algarismos}}}\right)+3[/tex]
[tex]\qquad x = \underbrace {11 \dots 1}_{\substack{(2n)\\
\text{algarismos}}}+\underbrace {111 \dots 1}_{\substack{(n+1)\\
\text{algarismos}}}+3.[/tex]
Note que:
\text{algarismos}} = 1+10+10^{2}+10^{3}+ \cdots + 10^{2n-1}[/tex]
e
► [tex] \left(1\, ,\, 10\, ,\, 10^{2}\, ,\, 10^{3}\, ,\, \cdots \, ,\, 10^{2n-1}\right)[/tex] é uma progressão geométrica de termo inicial igual a [tex]1[/tex], com [tex]2n[/tex] termos e razão [tex]10[/tex],
logo, utilizando a fórmula da soma de uma PG finita, segue que:
[tex]\qquad \underbrace {111\dots 11}_{2n\, \text{algarismos}}=[/tex][tex]1+10+10^{2}+10^{3}+ \cdots + 10^{2n-1}=\dfrac{10^{2n}-1}{9}.\qquad \textcolor{#800000}{(i)} [/tex]
Analogamente, veja que:
e
► [tex]\left(1\, ,\, 10\, ,\, 10^{2}\, ,\, 10^{3}\, ,\, \cdots \, ,\, 10^{n}\right)[/tex] é uma progressão geométrica de termo inicial igual a [tex]1[/tex], com [tex]n+1[/tex] termos e razão [tex]10[/tex],
logo,
[tex] \qquad \underbrace {111\dots 11}_{(n+1)\, \text{algarismos}}=[/tex][tex]1+10+10^{2}+10^{3}+ \cdots + 10^{n}=\dfrac{10^{n+1}-1}{9}.\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex].
Portanto, de [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e de [tex] \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad \begin{align} x&= \dfrac{10^{2n}-1}{9}+ \dfrac{10^{n+1}-1}{9}+3\\
& =\dfrac{10^{2n}-1+10^{n+1}-1+27}{9}\\
&=\dfrac{10^{2n}+10^{n+1}+25}{9}\\
&=\dfrac{(10^{n})^{2}+10 \cdot 10^{n}+5^2}{3^2}\\
&=\dfrac{(10^{n})^{2}+2 \cdot 5 \cdot 10^{n}+5^2}{3^2}\\
&= \left(\dfrac{10^{n}+5}{3}\right)^2.\end{align}[/tex]
Finalmente, observe que [tex]10^n[/tex], escrito na forma decimal, é o algarismo [tex]1[/tex] seguido de [tex]n[/tex] zeros. Portanto, a soma dos algarismos de [tex]10^n[/tex] vale [tex]1[/tex] e, consequentemente, a soma dos algarismos de [tex]10^n+5[/tex] é [tex]6.[/tex] Com isso, podemos garantir que [tex]10^n+5[/tex] sempre será divisível por [tex]3[/tex] e, consequentemente, [tex]\dfrac{10^{n}+5}{3}[/tex] é um número inteiro.
Portanto [tex]x[/tex] é, de fato, um quadrado perfeito.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.