Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)
Qual o menor múltiplo positivo de [tex]9[/tex] que pode ser escrito apenas com os algarismos [tex]1[/tex] ou [tex]4[/tex]?
Lembrete
Critério de divisibilidade por [tex]9[/tex]: Para um número natural [tex]x[/tex] ser divisível por [tex]9[/tex], é necessário e suficiente que a soma de seus algarismos seja divisível por [tex]9[/tex].
Isso significa duas coisas:
- Se um número natural [tex]x[/tex] for divisível por [tex]9[/tex], então a soma de seus algarismos é divisível por [tex]9.[/tex]
- Se a soma dos algarismos de um número natural [tex]x[/tex] for divisível por [tex]9[/tex], então o número [tex]x[/tex] é divisível por [tex]9.[/tex]
Solução
Observe que um número é divisível por [tex] 9[/tex] se, e somente se, a soma de seus algarismos é um múltiplo de [tex]9[/tex]. Como queremos o menor número nas condições enunciadas, então devemos utilizar a menor quantidade possível de algarismos.
Podemos obter soma [tex]9[/tex] com dois algarismos [tex]4[/tex] e um único algarismo [tex]1[/tex]. Além disso, não é possível obter uma soma múltipla de [tex]9[/tex] utilizando somente um ou dois algarismos [tex]1[/tex] ou [tex]4[/tex]; veja:
- [tex]1\ne 9[/tex],
- [tex]4\ne 9[/tex],
- [tex]1+1=2\ne 9[/tex],
- [tex]1+4=5\ne 9[/tex],
- [tex]4+4=8\ne 9[/tex].
Dos números de três algarismos, com dois deles sendo o [tex]4[/tex] e um sendo o [tex]1[/tex], o menor número que podemos formar é o [tex]144[/tex]. Portanto, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$144$}[/tex] é o menor múltiplo positivo de [tex]9[/tex] que é escrito apenas com os algarismos [tex]1[/tex] ou [tex]4[/tex].
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