Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
(Banco de questões da OBMEP – Adaptado) Considere o conjunto [tex]A=\{1, 2, 3, \cdots, 2018\}[/tex].
Quantos subconjuntos de [tex]A[/tex] existem de modo que a soma de seus elementos seja [tex]2.037.164[/tex]?
Solução
Utilizando a ideia do texto "A soma 1 + 2 + 3 + … + t" , podemos realizar a soma [tex]1+2+\cdots+2018[/tex] da seguinte forma:
[tex] \, \, \\
\\
\qquad 1+2+\cdots+2018=\dfrac{(1+2018)\times 2018}{2}=2\ 037\ 171\,.[/tex]
Assim, para obtermos um subconjunto de [tex]A[/tex] cuja soma de todos os seus elementos seja [tex]2\ 037\ 164[/tex], basta retirarmos de [tex]A[/tex] elementos cuja soma é [tex]7[/tex], uma vez que [tex]2\ 037\ 171-2\ 037\ 164=7[/tex].
Considerando a quantidade de elementos a serem excluídos, os possíveis casos são:
- Um único elemento: [tex]\{7\}[/tex];
- Dois elementos: [tex]\{1,6\},\ \{2,5\},\ \{3,4\}; [/tex]
- Três elementos: [tex]\{1,2,4\}.[/tex]
Observe que, com os elementos do conjunto [tex]A[/tex], não é possível obter soma [tex]7[/tex] utilizando quatro ou mais números. Portanto, existem cinco subconjuntos de [tex]A[/tex] cuja soma de seus elementos é [tex]7.[/tex]
Com isso, os complementares desses cinco subconjuntos de A serão conjuntos cuja soma dos elementos é 2.037.164, ou seja, apenas os seguintes subconjuntos possuem a propriedade solicitada:
[tex]\qquad A-\{7\}\quad ,\quad A-\{1,6\}\quad ,\quad A-\{2,5\}\quad ,\quad A-\{3,4\}, A-\{1,2,4\}.[/tex]
Portanto, é possível obter cinco subconjuntos de [tex]A[/tex] cuja soma dos elementos é [tex]2\,037\,164[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.