Problema
(FONTE: OBM) Calcular a medida do maior ângulo de um triângulo cujas alturas medem [tex]12, 15[/tex] e [tex]20[/tex].
Lembretes
[tex]\textcolor{#800000}{(1)}[/tex] A área de um triângulo é dada por
[tex]\qquad \qquad \boxed{\dfrac{base\cdot altura}{2}} \, .[/tex]
[tex]\textcolor{#800000}{(2)}[/tex] A Relação de Pitágoras é uma condição necessária e suficiente para um triângulo ser triângulo retângulo. Isso significa duas coisas:
- Se um triângulo é um triângulo retângulo, então o quadrado do comprimento de um dos lados é a soma dos quadrados dos respectivos comprimentos dos outros dois.
- Se em um triângulo o quadrado do comprimento de um dos lados é a soma dos quadrados dos respectivos comprimentos dos outros dois, então ele é um triângulo retângulo.
Podemos reunir as duas informações em uma só frase e escrever:
- Um triângulo cujas medidas dos lados são [tex]a, b, c[/tex] é um triângulo retângulo se, e somente se, [tex]a^2=b^2+c^2 \, .[/tex]
Solução
Sejam [tex]a, b, c[/tex] as medidas dos lados de um triângulo e [tex]h_a, h_b, h_c[/tex] as medidas das alturas relativas a esses lados, respectivamente. Assim, como a área [tex]A[/tex] desse triângulo não depende do lado que tomamos como base, devemos ter
[tex]\qquad A=\dfrac{a\cdot h_a}{2}=\dfrac{b\cdot h_b}{2}=\dfrac{c\cdot h_c}{2} \, .[/tex]
Utilizando os dados do enunciado, obtemos:
[tex]\qquad \dfrac{20a}{2}=\dfrac{15b}{2} =\dfrac{12c}{2}[/tex]
[tex]\qquad 20a=15b=12c[/tex]
[tex] \qquad \dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}= \dfrac{c}{5},[/tex]
o que nos leva a concluir que o triângulo em questão é semelhante a um triângulo de lados [tex]3, 4, 5[/tex].
Como [tex]5^2=3^3+4^2[/tex], o triângulo em questão é retângulo e, portanto, a medida de seu maior ângulo é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$90^\circ$} \, .[/tex]
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