.Problema: Poder da senha

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)


Dois sites constroem as senhas de seus usuários conforme descrito:

  • Site 1: Cinco caracteres formados por elementos do conjunto [tex]\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}[/tex];
  • Site 2: Cinco caracteres formados por duas letras, dentre as vogais, na primeira e segunda posições da senha, seguidas por 3 algarismos dentre os elementos do conjunto [tex]\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}[/tex].

Para comparar a eficiência entre dois métodos de construção de senhas, foi criada a grandeza "poder da senha": Se a quantidade máxima de senhas gerada por um método é [tex]s[/tex] e a quantidade máxima gerada pelo outro método é [tex]S[/tex], com [tex]S\geq s[/tex], o “poder da senha” entre os dois métodos é definido como a razão [tex]\dfrac{S}{s}[/tex].
Qual o "poder da senha" entre os dois sites?

Ajuda

Princípio Fundamental da Contagem: Se

explicador_p

  • uma escolha E1 puder ser feita de [tex] m_1 [/tex] maneiras,
  • uma escolha E2 puder ser feita de [tex]m_2 [/tex] maneiras,
  • uma escolha E3 puder ser feita de [tex]m_3 [/tex] maneiras,
  • uma escolha E4 puder ser feita de [tex]m_4 [/tex] maneiras,
  • uma escolha E5 puder ser feita de [tex]m_{5} [/tex] maneiras
  • e todas essas escolhas forem independentes entre si (isto é, a escolha de uma não muda a quantidade de escolhas para a outra),

então a quantidade de maneiras em que as [tex]5[/tex] escolhas podem ser feitas ao mesmo tempo é
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1\times m_2 \times m_{3}\times m_{4}\times m_{5}}.[/tex]

(Se você não se lembra desse Princípio, clique AQUI.)

Solução


Observe que:

  • O site [tex]1[/tex] pode utilizar [tex]10[/tex] dígitos para formar sua senha de [tex]5[/tex] caracteres. Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, é possível construir
    [tex]\qquad \qquad 10\times 10\times 10\times 10\times 10=10^5[/tex] senhas distintas.
  • O site [tex]2[/tex] pode utilizar duas vogais, dentre as [tex]5[/tex] existentes, para os dois primeiros números da senha e [tex]10[/tex] dígitos para os três últimos caracteres da senha. Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, é possível construir
    [tex]\qquad \qquad 5\times 5\times 10\times10\times10=25\times 10^3[/tex] senhas distintas.

Dessa forma, o “poder da senha” entre os dois sites é definido como [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{10^5}{25\times 10^3}=\dfrac{100}{25}=4$} \, .[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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