Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Considere uma urna contendo [tex]10[/tex] bolas idênticas numeradas de [tex]1[/tex] a [tex]10[/tex].
Retirando-se simultaneamente [tex]3[/tex] bolas desta urna, qual é a probabilidade de os números das três bolas retiradas não formarem uma progressão aritmética?
Solução
Vamos denotar por [tex]T[/tex] o número total de casos possíveis (retirar três bolas da urna) e por [tex]F[/tex] o número total de casos favoráveis (as três bolas retiradas não formam uma progressão aritmética). Assim, como o espaço amostral é equiprovável, temos que a probabilidade [tex]P[/tex] dos números das três bolas retiradas não formarem uma progressão aritmética é
[tex]\qquad \qquad \boxed{P=\frac{F}{T}} \, .[/tex]
- Vamos primeiramente calcular [tex]T[/tex].
Observe que queremos saber o número de formas de se escolher [tex]3[/tex] objetos de um conjunto de [tex]10[/tex], sendo que a ordem não importa. Assim, vamos calcular o número de combinações simples de [tex]10[/tex], tomados [tex]3[/tex] a [tex]3[/tex]:
[tex]\qquad \boxed{T=\frac{10!}{7! \, 3!}=120} \, [/tex],
ou seja, temos [tex]120[/tex] casos possíveis. - Vamos calcular agora em quantos desses [tex]120[/tex] casos os três números formam uma progressão aritmética.
- Temos [tex]8[/tex] progressões aritméticas com razão igual a [tex]1[/tex]:
[tex]\quad (1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), (4, 5, 6), (5, 6, 7), (6, 7, 8), (7, 8, 9), (8, 9, 10).[/tex] - Temos [tex]6[/tex] progressões aritméticas com razão igual a [tex]2[/tex]:
[tex]\quad (1, 3, 5), (2, 4, 6), (3, 5, 7), (4, 6, 8), (5, 7, 9), (6, 8, 10).[/tex] - Temos [tex]4[/tex] progressões aritméticas com razão igual a [tex]3[/tex]:
[tex]\quad (1, 4, 7), (2, 5, 8), (3, 6, 9), (4, 7, 10).[/tex] - Temos [tex]2[/tex] progressões aritméticas com razão igual a [tex]4[/tex]:
[tex]\quad (1, 5, 9), (2, 6, 10).[/tex] - Para os números em questão, não existem três em progressão aritmética com razão maior do que [tex]4[/tex]. Com efeito, como o primeiro menor termo é [tex]1[/tex], o segundo seria maior do que [tex]5[/tex] e, consequentemente, o terceiro seria maior do que [tex]10[/tex].
Temos, portanto, que em [tex]20[/tex] destes casos os três números formam uma progressão aritmética. [tex] \textcolor{red}{ \, ^{(*)}}[/tex]
Assim, os números não formam progressão aritmética em [tex]100[/tex] dos [tex]120[/tex] casos totais, ou seja, [tex]\boxed{F=100} \, .[/tex]
[tex] \textcolor{red}{ \, ^{(*)}}[/tex]É importante observar que cada conjunto de números que definiu uma progressão de razão [tex]r \gt 0[/tex] define também uma progressão aritmética com razão igual a [tex]-r[/tex]. Por exemplo, os conjuntos
[tex]\qquad \{1, 2, 3\}, \{2, 3, 4\}, \{3, 4, 5\}, \{4, 5, 6\}, \{5, 6, 7\}, \{6, 7, 8\}, \{7, 8, 9\}, \{8, 9, 10\}[/tex]
que definiram, respectivamente, as progressões
[tex]\qquad (1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), (4, 5, 6), (5, 6, 7), (6, 7, 8), (7, 8, 9), (8, 9, 10)[/tex]
definem também as progressões aritméticas
[tex]\qquad (3, 2, 1), (4, 3, 2), (5, 4, 3), (6, 5, 4), (7, 6, 5), (8, 7, 6), (9, 8, 7), (10, 9, 8).[/tex]
Em cada um dos quatro casos, as progressões com razões negativas não foram contadas pois surgem de sorteios que geram progressões com razões positivas, e estamos interessados nos sorteios e não nas progressões propriamente ditas.
Desta forma,
[tex]\qquad \qquad P=\frac{100}{120}=\frac{5}{6}\approx 0,83333…,[/tex]
ou seja, a probabilidade de os números das três bolas retiradas não formarem uma progressão aritmética é de aproximadamente [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$83\% \, $} \, .[/tex]
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