.Problema: Nova ordem

Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)

Consideremos como conjunto dos números naturais o conjunto $\{1, 2, \dots\}$.

Definição: Dizemos que um número natural $n$ supera um número natural $m$, e escrevemos $n\gg m$ ou $m \ll n$, se a potência de $2$ na decomposição em fatores primos de $n$ for maior do que a potência de $2$ na decomposição de $m$ em fatores primos. Caso estas potências sejam iguais, então $n$ supera $m$ se $n\gt m$.

(a) É verdade que $16 \gg 24$?
(b) Encontre um conjunto formado por infinitos números naturais que são superados por $2$.

Solução

(a) Basta decompor estes números em fatores primos para responder esta questão.
Veja que $16=2^4$ e $24=2^3 \cdot 3$. Portanto, como na decomposição de $16$ o número $2$ está elevado a uma potência maior do que na decomposição de $24$, então é verdade que $16 \gg 24$.

(b) Observe que, como $2$ se decompõe como $2^1$, se quisermos encontrar números que são superados por $2$ os expoentes do $2$ têm que ser inferiores a $1$ em suas respectivas decomposições em fatores primos. Observe ainda que todos os números ímpares não contêm o fator $2$, ou seja, o expoente do $2$ é $0$ em suas decomposições em fatores primos. Assim, qualquer elemento do conjunto infinito de todos os números ímpares é superado por $2$.

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