Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Consideremos como conjunto dos números naturais o conjunto [tex]\{1, 2, \dots\}[/tex].
Definição: Dizemos que um número natural [tex]n[/tex] supera um número natural [tex]m[/tex], e escrevemos [tex]n\gg m[/tex] ou [tex]m \ll n[/tex], se a potência de [tex]2[/tex] na decomposição em fatores primos de [tex]n[/tex] for maior do que a potência de [tex]2[/tex] na decomposição de [tex]m[/tex] em fatores primos. Caso estas potências sejam iguais, então [tex]n[/tex] supera [tex]m[/tex] se [tex]n\gt m[/tex].
(a) É verdade que [tex]16 \gg 24[/tex]?
(b) Encontre um conjunto formado por infinitos números naturais que são superados por [tex]2[/tex].
Solução
(a) Basta decompor estes números em fatores primos para responder esta questão.
Veja que [tex]16=2^4[/tex] e [tex]24=2^3 \cdot 3[/tex]. Portanto, como na decomposição de [tex]16[/tex] o número [tex]2[/tex] está elevado a uma potência maior do que na decomposição de [tex]24[/tex], então é verdade que [tex]16 \gg 24[/tex].
(b) Observe que, como [tex]2[/tex] se decompõe como [tex]2^1[/tex], se quisermos encontrar números que são superados por [tex]2[/tex] os expoentes do [tex]2[/tex] têm que ser inferiores a [tex]1[/tex] em suas respectivas decomposições em fatores primos. Observe ainda que todos os números ímpares não contêm o fator [tex]2[/tex], ou seja, o expoente do [tex]2[/tex] é [tex]0[/tex] em suas decomposições em fatores primos. Assim, qualquer elemento do conjunto infinito de todos os números ímpares é superado por [tex]2[/tex].
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