Problema
(Indicado a partir do 3º ano do E. M.)
Os coeficientes [tex]a,\ b[/tex] e [tex]c[/tex] do polinômio [tex]p(x)=x^3+ax^2+bx+c[/tex] são números reais.
Sabendo que [tex]-2[/tex] e [tex]1-\alpha i[/tex], com [tex]\alpha\in\mathbb{R}[/tex], são raízes da equação [tex]p(x)=0[/tex] e que o resto da divisão de [tex]p(x)[/tex] por [tex](x+1)[/tex] é [tex]13[/tex], determine [tex]p(x).[/tex]
Lembretes e notação
(1) Teorema da Fatoração: Todo polinômio de grau [tex]n[/tex], [tex]n \geqslant 1 \, [/tex],
[tex]\qquad \qquad P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0, \ \ \ a_n\neq0,[/tex]
com coeficientes [tex]a_0,a_1, \dots, a_n[/tex] complexos, pode ser fatorado na forma
[tex]\qquad \qquad P(x)=a_n(x-x_0)^{m_0}(x-x_1)^{m_1}\dots(x-x_r)^{m_r} \, [/tex],
onde [tex]x_0, \, x_1, \, \dots \, , \, x_r[/tex] são números complexos distintos e [tex]m_0, \, m_1, \, \dots \, , \, m_r[/tex] são números naturais tais que [tex]m_0+m_1+\dots+m_r=n.[/tex] Neste caso, o conjunto das raízes da equação polinomial [tex]P(x)= 0[/tex] é dado por [tex]\{x_0, x_1, \dots, x_r\}[/tex]. (Se precisar, visite esta página.)
(2) Teorema do resto: O resto da divisão do polinômio [tex]Q(x)[/tex] por [tex]x-a[/tex] é o valor numérico de [tex]Q(x)[/tex] para [tex]x=a[/tex], ou seja, [tex]Q(a).[/tex]
(3) Se um polinômio possui todos os coeficientes reais e [tex]a+bi[/tex] é uma raiz desse polinômio, então [tex]a-bi[/tex] também o é.
Solução
Observe que
► [tex]-2 [/tex] e [tex]1-\alpha i[/tex] são raízes de [tex]p(x)[/tex],
► [tex]p(x)[/tex] é um polinômio de grau [tex]3[/tex],
assim, [tex]-2,\ 1-\alpha i[/tex] e [tex]1+\alpha i[/tex] são as raízes de [tex]p(x)[/tex]. Com isso, pelo Teorema da Fatoração, segue que:
[tex]\qquad p(x)=(x+2)(x-(1-\alpha i))(x-(1+\alpha i))[/tex]
[tex]\qquad p(x)=(x+2)(x^2-2x+1+\alpha^2) .\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Por outro lado, o Teorema do resto garante que o resto da divisão de [tex]p(x)[/tex] por [tex]x-(-1)[/tex] é [tex]p(-1)[/tex]; assim, da hipótese de que esse resto é [tex]13[/tex], temos que [tex]p(-1)=13[/tex]. Então, segue de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] que:
[tex]\qquad p(-1)=13[/tex]
[tex]\qquad (-1+2)((-1)^2-2(-1)+1+\alpha^2)=13[/tex]
[tex]\qquad (4+\alpha^2)=13[/tex]
[tex]\qquad \alpha^2=9[/tex]
[tex]\qquad \alpha=\pm 3[/tex].
Portanto, podemos concluir que [tex]p(x)=(x+2)(x^2-2x+10)[/tex], ou seja, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$p(x)=x^3+6x+20$} \, .[/tex]
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