.Problema: Quadrilátero IV

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

Dois lados consecutivos de um quadrilátero circunscrito a um círculo medem

$7\ cm$ e

$5\ cm$ . Calcule a medida dos outros dois lados sabendo que o perímetro mede

$26\ cm$ .

Lembrete

Para solução deste problema, utilizaremos a seguinte propriedade de tangentes a uma circunferência:

Se de um ponto $P$ conduzirmos os segmentos $\overline{PG}$ e $\overline{PH}$ tangentes a uma circunferência, sendo $G$ e $H$ pontos da circunferência, então $\overline{PG}$ e $\overline{PH}$ têm o mesmo comprimento.

Solução

Para acompanhar o nosso raciocínio, observe o quadrilátero

$ABCD$ abaixo, circunscrito a um círculo.

Considere que $R \,$ e $S \,$ são os pontos de tangência definidos respectivamente pelos segmentos $\overline{AB} \,$ e $\, \overline{AD} \, .$ Utilizando a propriedade do Lembrete, os segmentos $\overline{AR} \,$ e $\, \overline{AS} \,$ têm o mesmo comprimento, digamos $x \,$ centímetros, conforme ilustra a próxima figura.

Utilizando a mesma propriedade citada no Lembrete, se $U \,$ e $V \,$ são respectivamente os pontos de tangência definidos pelos segmentos $\overline{CB} \,$ e $\, \overline{CD} \,$ , então já temos os comprimentos dos segmentos $\overline{BU} \,$ e $\, \overline{DV} \,$ , conforme mostra a próxima figura.

Usando a propriedade do Lembrete, mais uma vez, os segmentos $\overline{UC} \,$ e $\, \overline{VC} \,$ têm o mesmo comprimento, digamos $a \,$ centímetros.

Sabemos que o perímetro do quadrilátero é $26 \, cm$ , assim:
$\qquad 5+7+(7-x+a)+(a+5-x)=26$ ,
donde $2a-2x=2$ , ou ainda, $\, a-x=1$ .
Como os valores das medidas dos lados que queremos descobrir são dados por $\boxed{l_1=7-x+a} \, \,$ e $\, \, \boxed{l_2=5-x+a}$ tem-se que:
$\qquad \qquad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$l_1=7+a-x=7+1=8 \, cm$} \, \qquad$ e $\qquad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$l_2=5+a-x=5+1=6 \, cm$} \, .$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.