Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(1) O que é maior: a soma de todos os números pares de 0 a 100 ou a soma de todos os números ímpares de 1 a 99?
(2) Qual a diferença das duas somas?
Solução
A adição dos números pares de [tex]0[/tex] a [tex]100[/tex], que indicaremos por [tex]P[/tex], tem [tex]50[/tex] parcelas, pois podemos desprezar o zero:
[tex]\qquad P=0+2+4+6+\cdots+98+100=2+4+6+\cdots+98+100.[/tex]
Já a adição dos números ímpares, que indicaremos por [tex]I[/tex], é outra adição também com [tex]50[/tex] parcelas:
[tex]\qquad I=1+3+5+7+\cdots+97+99.[/tex]
Entretanto, cada parcela par leva vantagem de [tex]1[/tex] unidade sobre a correspondente ímpar, por exemplo, o [tex]2[/tex] excede o [tex]1[/tex] em uma unidade, o [tex]4[/tex] excede o [tex]3[/tex] em uma unidade e assim sucessivamente:
[tex]\qquad P=2+4+6+\cdots+98+100\\
\qquad P=[1+1]+[3+1]+[5+1]+\cdots +[97+1]+[99+1]\,.[/tex]
Então, teremos [tex]50[/tex] unidades de diferença no resultado final, de acordo com os cálculos a seguir:
[tex]\qquad P=[1+3+5+7+\cdots+97+99]+\underbrace{[1+1+\cdots+1]}_{50\,\, vezes}.\qquad [/tex](*)
Portanto, [tex]P=I+50[/tex] e, deste modo, a soma de todos os números pares de [tex]0[/tex] a [tex]100[/tex] é maior que a soma de todos os números ímpares de [tex]1[/tex] a [tex]99[/tex], sendo a diferença entre as somas de [tex]50[/tex].
(*) Observe que podemos verificar que a soma [tex]P[/tex] tem 50 parcelas, escrevendo-a de uma maneira diferente:
[tex]\quad P=2+4+6+\cdots+98+100\\
\quad P=(2\times\underline{1}_{})+(2\times\underline{2}_{})+(2\times\underline{3}_{})+\cdots+(2\times\underline{49}_{})+(2\times\underline{50}_{})\,.[/tex]
Solução elaborada pelo Clube ZOMÁTICA, com contribuições dos Moderadores do Blog.
Participaram da discussão os Clubes: Math Error; Os Pitagóricos; ZOMÁTICA.