Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
Simplifique a seguinte expressão:
[tex]\sqrt{2^{2018}+2^{1010}+1}-\sqrt{2^{2018}-2^{1010}+1}\, \, .[/tex]
Lembretes
As duas identidades algébricas abaixo podem ajudar…
(01) [tex] (a +b)^2 = a^2 +2ab +b^2\, ;\, \forall \, a,\, b\, \in \mathbb{R}[/tex].
(02) [tex] (a-b)^2 = a^2-2ab +b^2\, ;\, \forall\, a,\, b\in \mathbb{R}.[/tex]
(Para conhecer um pouco mais sobre "Malabarismos aritméticos e algébricos", clique AQUI)
(03) Para finalizar a solução, vamos precisar da definição de módulo de um número real [tex]x[/tex]:
[tex]\qquad \sqrt{x^2}=|x|[/tex],
onde [tex]|x|[/tex] indica o módulo do número real [tex]x[/tex]:
[tex]\qquad |x|=\begin{cases} x, \text{ se } x\geqslant 0\\
-x, \text{ se } x\lt 0\\
\end{cases}\, . [/tex]
Solução
Observe que:
- [tex]\begin{align*} 2^{2018}+2^{1010}&+1=\left(2^{1009}\right)^2+2\left(2^{1009}\right)+1=\left(2^{1009}\right)^2+2\left(2^{1009}\right)\left(1\right)+1^2\\
&\stackrel{\textcolor{#800000}{\text{Lembrete (1)}}}{=}\left(2^{1009}+1\right)^2\, ;\end{align*}[/tex] - [tex]\begin{align*}2^{2018}-2^{1010}&+1=\left(2^{1009}\right)^2-2\left(2^{1009}\right)+1=\left(2^{1009}\right)^2-2\left(2^{1009}\right)\left(1\right)+1^2\\
&\stackrel{\textcolor{#800000}{\text{Lembrete (2)}}}{=}\left(2^{1009}-1\right)^2\, .\end{align*}[/tex]
Assim, segue que:
[tex]\qquad \begin{align*}\sqrt{2^{2018}+2^{1010}+1}-\sqrt{2^{2018}-2^{1010}+1}=&\sqrt{\left(2^{1009}+1\right)^2}-\sqrt{\left(2^{1009}-1\right)^2}\\
\stackrel{\textcolor{#800000}{\text{Lembrete (3)}}}{=}&|2^{1009}+1|-|2^{1009}-1|\, .\qquad \textcolor{#800000}{(i)}
\end{align*}[/tex]
Mas
[tex]\qquad 2^{1009}+1 \gt 0\, \, \, [/tex] e [tex]\, \, 2^{1009}-1 \gt 0\, [/tex];
assim,
[tex]\qquad \boxed{|2^{1009}+1|= 2^{1009}+1}\, [/tex] e [tex]\, \boxed{|2^{1009}-1|= 2^{1009}-1}\, .[/tex]
Logo, segue de [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex], que:
[tex]\qquad \begin{align*}\sqrt{2^{2018}+2^{1010}+1}-\sqrt{2^{2018}-2^{1010}+1}&=\left(2^{1009}+1\right)-\left(2^{1009}-1\right)\\
&=2^{1009}+1-2^{1009}+1\\
&=2\, .\end{align*}[/tex]
Portanto, [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\sqrt{2^{2018}+2^{1010}+1}-\sqrt{2^{2018}-2^{1010}+1}=2$}\, .[/tex]
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