Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Um grupo de alunos de um Clube de Matemática decidiu comprar um presente no valor de [tex]60[/tex] reais para o professor Francimar.
O valor deveria ser dividido igualmente entre os alunos, no entanto, no dia combinado para levarem o dinheiro, três alunos faltaram. Dessa forma, cada um dos alunos presentes precisou contribuir com mais [tex]1[/tex] real.
No fim, quantos alunos efetivamente contribuíram com a compra do presente?
Solução 1
Sendo [tex]x[/tex] o número total de alunos, observamos que:
- o valor pago por cada aluno, se todos os alunos estivessem presentes, seria [tex]\dfrac{60}{x}[/tex] reais,
- como [tex]3[/tex] alunos não compareceram, o valor passou a ser [tex]\dfrac{60}{x-3}[/tex] reais.
Com o aumento de [tex]1[/tex] real para cada aluno presente no dia combinado para levarem o dinheiro, segue que:
[tex]\quad \dfrac{60}{x-3}=\dfrac{60}{x}+1[/tex]
[tex]\quad \dfrac{60}{x-3}=\dfrac{60}{x}+\dfrac{x}{x}[/tex]
[tex]\quad\dfrac{60}{x-3}=\dfrac{60+x}{x}[/tex]
[tex]\quad 60x=(x-3)(60+x)[/tex]
[tex]\quad 60x=60x-180-3x+x^2[/tex]
[tex]\quad x^2-3x-180=0 \, .\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Veja que as soluções da equação de segundo grau [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] são:
[tex]x_1=\dfrac{3+\sqrt{9+720}}{2}=\dfrac{3+\sqrt{729}}{2}=\dfrac{3+27}{2}=15 \, \, [/tex] e [tex] \, \, x_2=\dfrac{3-\sqrt{9+720}}{2}=\dfrac{3-\sqrt{729}}{2}=\dfrac{3-27}{2}=-12 \, [/tex];
mas, como [tex]x[/tex] representa uma quantidade de alunos, a solução [tex]x_2=-12 \, [/tex] não convém.
Portanto, [tex]15[/tex] alunos deveriam contribuir inicialmente, mas apenas [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$12$}[/tex] contribuíram efetivamente para a compra do presente.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Sendo [tex]x[/tex] o número total de alunos, observamos que:
- o valor pago por cada aluno, se todos os alunos estivessem presentes, seria [tex]\dfrac{60}{x}[/tex] reais,
- como [tex]3[/tex] alunos não compareceram, o valor passou a ser [tex]\dfrac{60}{x-3}[/tex] reais.
Com o aumento de [tex]1[/tex] real para cada aluno presente no dia combinado para levarem o dinheiro, segue que:
[tex]\quad \dfrac{60}{x-3}=\dfrac{60}{x}+1[/tex]
[tex]\quad \dfrac{60}{x-3}=\dfrac{60}{x}+\dfrac{x}{x}[/tex]
[tex]\quad\dfrac{60}{x-3}=\dfrac{60+x}{x}[/tex]
[tex]\quad 60x=(x-3)(60+x)[/tex]
[tex]\quad 60x=60x-180-3x+x^2[/tex]
[tex]\quad x^2-3x-180=0 \, [/tex]
[tex]\quad x\left(x-3\right)=180.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Como [tex]x[/tex] e [tex]x-3[/tex] são números naturais, pela equação [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] podemos concluir que ambos são divisores de [tex]180 \, .[/tex] Assim, vamos examinar os divisores de [tex]180[/tex] e para isso vamos utilizar o dispositivo prático exposto nesta sala.
A partir da decomposição
[tex]\qquad \hspace{1.8cm}\underline{\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{1}} \\
\qquad \begin{array}{r|l}
180 & 2 & \fcolorbox{black}{#FFFFBF}{2}\\
90 & 2 & \fcolorbox{black}{#FFFFBF}{4}\\
45 & 3 &\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{3}\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{6}\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{12}\\
15 & 3&\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{9}\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{18}\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{36}\\
5 & 5 &\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{5}\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{10}\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{20}\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{15}\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{30}\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{60}\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{45}\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{90}\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{180}\\
1 & & \\ \end{array}[/tex]
obtemos o conjunto dos divisores naturais de [tex]180[/tex]:
[tex]\qquad D(180)=\{1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,30,36,45,60,90,180\}[/tex]
Agora, note que os divisores formam nove “pares cujo produto é [tex]180[/tex]”:
- [tex]1\times180=180[/tex]
- [tex]2\times90=180[/tex]
- [tex]3\times60=180[/tex]
- [tex]4\times45=180[/tex]
- [tex]5\times36=180[/tex]
- [tex]6\times30=180[/tex]
- [tex]9\times20=180[/tex]
- [tex]10\times18=180[/tex]
- [tex]12\times15=180[/tex]
mas, destes, apenas em um par a diferença entre os números é de três unidades; portanto, temos [tex]x=15[/tex] e [tex]x-3=12[/tex].
Podemos então concluir que [tex]15[/tex] alunos deveriam ter contribuído, mas apenas [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$12$}[/tex] efetivamente contribuíram para a compra do presente do professor Francimar.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.