Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Calcule o valor da expressão:
[tex]\dfrac{1}{2\cdot4}+\dfrac{1}{4\cdot6}+\dfrac{1}{6\cdot8}+\cdots+ \dfrac{1}{2014\cdot2016}+\dfrac{1}{2016\cdot2018} \, .[/tex]
Solução
Note que, se [tex]x\ne 0[/tex] e [tex]x\ne-2[/tex]:
[tex]\qquad \qquad \boxed{\dfrac{1}{x\cdot(x+2)}=\dfrac{1}{2}\cdot\left( \dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{x+2} \right)} \, .[/tex]
Assim, podemos usar a igualdade acima em cada parcela da expressão a ser calculada; observe:
[tex]\qquad \dfrac{1}{2\cdot4}=\dfrac{1}{2}\cdot\left( \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{4} \right)[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{1}{4\cdot6}=\dfrac{1}{2}\cdot\left( \dfrac{1}{4} – \dfrac{1}{6} \right)[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{1}{6\cdot8}=\dfrac{1}{2}\cdot\left( \dfrac{1}{6} – \dfrac{1}{8} \right)[/tex]
[tex]\qquad \vdots[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{1}{2014\cdot2016}=\dfrac{1}{2}\cdot\left( \dfrac{1}{2014} – \dfrac{1}{2016} \right)[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{1}{2016\cdot2018}=\dfrac{1}{2}\cdot\left( \dfrac{1}{2016} – \dfrac{1}{2018} \right) \, .[/tex]
Somando, membro a membro, todas as parcelas acima e colocando o [tex]\dfrac{1}{2}[/tex] em evidência, teremos:
[tex]\qquad \boxed{\dfrac{1}{2\cdot4}+\dfrac{1}{4\cdot6}+\dfrac{1}{6\cdot8}+\cdots+ \dfrac{1}{2014\cdot2016}+\dfrac{1}{2016\cdot2018}}=[/tex]
[tex]\qquad =\dfrac{1}{2}\cdot\left( \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} – \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} – \dfrac{1}{8} + \cdots +\dfrac{1}{2014} – \dfrac{1}{2016} + \dfrac{1}{2016} – \dfrac{1}{2018} \right)=[/tex]
[tex]\qquad =\dfrac{1}{2}\cdot\left( \dfrac{1}{2} – \cancel {\dfrac{1}{4}} + \cancel {\dfrac{1}{4}} – \cancel{\dfrac{1}{6}} +\cancel {\dfrac{1}{6}} -\cancel {\dfrac{1}{8}} + \cdots \\
\qquad \qquad \cdots + \cancel {\dfrac{1}{2014}} -\cancel {\dfrac{1}{2016}} + \cancel{\dfrac{1}{2016}} – \dfrac{1}{2018} \right)=[/tex]
[tex]\qquad =\dfrac{1}{2}\cdot\left( \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{2018} \right)=[/tex]
[tex]\qquad =\dfrac{1}{2}\cdot\left( \dfrac{1008}{2018} \right)=[/tex]
[tex]\qquad =\dfrac{1008}{4036}=[/tex]
[tex]\qquad = \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{252}{1009}$} \, .[/tex]
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