Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Mostre que se [tex]x[/tex] for um número real positivo, então [tex]x+\dfrac{1}{x}\geq 2[/tex].
Utilize este fato para demonstrar que se [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] forem números reais positivos então
[tex] \boxed{\dfrac{1}{x}(1+xy)+\dfrac{1}{y}(1+xy)\geq 4} \, .[/tex]
Solução
Observe que [tex](x-1)^2\geq 0[/tex] é equivalente a [tex]x^2-2x+1\geq 0[/tex].
Como [tex]x[/tex] é positivo segue, dividindo tudo por [tex]x[/tex], que:
[tex]\qquad x+\dfrac{1}{x}\geq 2 \, .\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Assim, se [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] forem números reais positivos, segue de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] que [tex]x+\dfrac{1}{x}\geq 2 \, [/tex] e [tex] \, y+\dfrac{1}{y}\geq 2 \, [/tex].
Logo:
[tex]\quad \begin{align*}\dfrac{1}{x}\left(1+xy\right)+\dfrac{1}{y}\left(1+xy\right)&=\left(\dfrac{1}{x}+y\right)+\left(\dfrac{1}{y}+x\right)\\
&= \left(\dfrac{1}{x}+x\right)+\left(\dfrac{1}{y}+y\right)\geq 2+2=4 \end{align*} [/tex]
e, portanto,
[tex] \, \fcolorbox{black}{#cfdafb}{$\dfrac{1}{x}(1+xy)+\dfrac{1}{y}(1+xy)\geq 4$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.