Problema
(A partir da 2ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Difícil)
(Adaptado da Olimpiada Matemática Española – 2004) Distribuiremos [tex]286[/tex] números reais cuja soma é [tex]144287[/tex] em uma tabela retangular, de modo que todas as linhas dessa tabela, assim como a primeira e a última colunas, sejam progressões aritméticas com mais de um elemento.
Determinar a soma dos elementos que ficarão nos quatro cantos da tabela depois de construída.
Lembrete
A soma dos [tex]t \, [/tex] primeiros termos de uma progressão aritmética [tex]\left(x_1 \, , \, x_2 \, , \, x_3 \, , \, \cdots \, , \, x_t \, , \, \cdots \right)[/tex] é dada por: [tex]\boxed{\dfrac{\left(x_1+x_t \right)\cdot t}{2}}[/tex]
Solução
Vamos dispor os [tex]286[/tex] números reais em uma tabela com [tex]m[/tex] linhas e [tex]n[/tex] colunas e vamos escrever [tex]a_{ ij}[/tex] para representar o número que está na linha na linha [tex]i[/tex] e na coluna [tex]j[/tex] da tabela. Observe a tabela, na qual destacamos em vermelho os quatro números cuja soma queremos obter.
[tex]\left( \begin{array}{cccc}
\textcolor{red}{a_{11}} & a_{12} & \cdots & \textcolor{red}{a_{1n}}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
\textcolor{red}{a_{m1 }}&a_{ m2}&\cdots &\textcolor{red}{a_{ mn}}
\end{array}\right)[/tex]
Agora, sejam [tex]S_1 \, [/tex], [tex]S_2 \, [/tex], [tex]\cdots \, [/tex], [tex]S_m \, [/tex] as somas dos elementos das linhas [tex]1 \, [/tex], [tex]2 \, [/tex], [tex]\cdots \, [/tex], [tex]m \, [/tex], respectivamente. Como nas linhas da nossa tabela temos progressões aritméticas, então:
[tex]\qquad S_1=\dfrac{\left(a_{ 11}+a_{ 1n} \right)\cdot n}{2}[/tex]
[tex]\qquad S_2=\dfrac{\left(a_{ 21}+a_{ 2n} \right)\cdot n}{2}[/tex]
[tex]\qquad \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots[/tex]
[tex]\qquad S_m=\dfrac{\left(a_{ m1}+a_{ mn} \right)\cdot n}{2}[/tex]
Somando membro a membro essas [tex]m \, [/tex] igualdades obteremos a soma dos [tex]286[/tex] números reais iniciais, que é [tex]144287[/tex]; dessa forma, segue que:
[tex]\qquad S_1+S_2+\cdots+ S_m=\dfrac{\left(a_{11 }+a_{ 1n} \right)\cdot n}{2}+ \dfrac{\left(a_{ 21}+a_{ 2n} \right)\cdot n}{2}+\cdots+\dfrac{\left(a_{ m1}+a_{ mn} \right)\cdot n}{2}[/tex]
[tex]\qquad 144287=\dfrac{n}{2}\left[\left(a_{ 1}+a_{ 1n} \right)+ \left(a_{ 21}+a_{ 2n} \right)+\cdots+\left(a_{ m1}+a_{ mn} \right)\right][/tex]
[tex]\qquad 144287=\dfrac{n}{2}\left[\left(a_{ 11}+a_{ 21}+\cdots+a_{ m1} \right)+ \left(a_{ 1n}+a_{ 2n}+\cdots+a_{ mn} \right)\right] \, .[/tex]
Mas a primeira e a última colunas da nossa tabela também são progressões aritméticas, então:
[tex]\qquad 144287=\dfrac{n}{2}\left[\dfrac{\left(a_{ 11}+a_{ m1} \right)\cdot m}{2}+ \dfrac{\left(a_{ 1n}+a_{ mn} \right)\cdot m}{2}\right] \, .[/tex]
[tex]\qquad 144287=\dfrac{n\cdot m}{4}\left[\textcolor{red}{a_{ 11}}+\textcolor{red}{a_{ m1}} + \textcolor{red}{a_{ 1n}}+\textcolor{red}{a_{ mn}}\right] \, .[/tex]
Perceba agora que o produto [tex]n \cdot m[/tex] é exatamente o número de elementos que estão distribuídos na tabela; assim, [tex]n \cdot m=286[/tex] e, portanto,
[tex]\qquad 144287=\dfrac{286}{4}\left[\textcolor{red}{a_{ 11}}+\textcolor{red}{a_{ m1}} + \textcolor{red}{a_{ 1n}}+\textcolor{red}{a_{ mn}}\right] \, [/tex]
[tex]\qquad \textcolor{red}{a_{ 11}}+\textcolor{red}{a_{ m1}} + \textcolor{red}{a_{ 1n}}+\textcolor{red}{a_{ mn}}=\dfrac{4\times 144287}{286}=2018 \, .[/tex]
Assim, a soma dos elementos que ficaram nos quatro cantos da tabela construída é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$2018$} \, .[/tex]
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