Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
É possível colocar feijões nos quadrados de um tabuleiro [tex]8 \times 8[/tex], no máximo um feijão por quadrado, de forma que haja o mesmo número de grãos em quaisquer duas colunas e um número diferente de feijões em cada uma das linhas? Justifique.
Extraído de Círculo Matemático de Moscou – Sergey Dorichenco, 2016.
Solução
O diagrama abaixo mostra que podemos colocar [tex]4[/tex] grãos em cada coluna de modo que o número de grãos em linhas sucessivas seja de [tex]3, 2, 1, 0, 5, 6, 7[/tex] e [tex]8[/tex], todos números diferentes.
Mas como explicar a solução mostrada, uma vez que cada fila pode conter de [tex]0[/tex] a [tex]8[/tex] feijões e existem nove possibilidades para cada uma?
Uma vez que cada linha deve conter um número diferente de feijões, deve-se escolher oito dessas possibilidades e rejeitar uma. Como, então, decidimos qual rejeitar?
O número total de grãos deve ser divisível por [tex]8[/tex], uma vez que existem oito colunas e cada coluna deve ter o mesmo número de grãos. Agora, observe que [tex]0+1+\cdots+8=36[/tex], e devemos deixar de fora um desses números e obter uma soma que seja um múltiplo de [tex]8[/tex]. O único número que podemos retirar para que isso ocorra é o [tex]4[/tex]. Agora, as linhas devem conter [tex]1, 2, 3, 5, 6, 7, 8[/tex] feijões, ou seja, um total de [tex]32[/tex] grãos e cada coluna deve conter quatro feijões.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.