.Problemão: Álgebra de matrizes

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)


Sejam:

  • [tex]X=\left(\begin{array}{cc}
    x_1 & x_2 \\
    x_3 & x_4
    \end{array}\right)[/tex] uma matriz quadrada de tamanho [tex]2\times 2[/tex],
  • [tex]t(X)=x_1+x_4[/tex], o traço de [tex]X[/tex]
  • e [tex]D(X)=x_1x_4-x_3x_2[/tex], o determinante de [tex]X[/tex].

Considerando [tex]\boxed{s=\sqrt{D(X)}}[/tex] e [tex]\boxed{t=\sqrt{t(X)+2s}} \, [/tex], prove que:

(a) Se [tex]t\neq 0[/tex] então a matriz [tex]R[/tex], dada por
[tex]\qquad \qquad R=\dfrac{1}{t}\left(\begin{array}{cc}
x_1+s & x_2 \\
x_3 & x_4+s
\end{array}\right)\\
[/tex]
é uma raiz quadrada de [tex]X[/tex], isto é, [tex]R^2=R\cdot R=X[/tex].

(b) Seja [tex]C[/tex] a matriz quadrada dada por
[tex]\qquad \qquad C=\left(\begin{array}{cc}
-2 & -1 \\
0 & 0
\end{array}\right)[/tex].
Encontre uma matriz [tex]X[/tex] de tamanho [tex]2\times 2[/tex] que seja solução da seguinte equação matricial de segundo grau
[tex]\qquad \qquad X^2+ X+C=\left(\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right).[/tex]

Solução


(a) Para que [tex]R[/tex] seja uma raiz quadrada de [tex]X[/tex] temos que mostrar a seguinte igualdade matricial [tex]\boxed{R^2=R\cdot R=X}.[/tex]
Assim, para solucionar este item, basta realizar a multiplicação matricial:
[tex]\qquad \begin{align*} R^2=R\cdot R&=\dfrac{1}{t}\left(\begin{array}{cc}
x_1+s & x_2 \\
x_3 & x_4+s
\end{array}\right)\dfrac{1}{t}\left(\begin{array}{cc}
x_1+s & x_2 \\
x_3 & x_4+s
\end{array}\right)\\
\\
&=\dfrac{1}{t^2}\left(\begin{array}{cc}
(x_1+s)^2+x_2x_3 & (x_1+s)x_2+x_2(x_4+s) \\
x_3(x_1+s)+(x_4+s)x_3 & x_3x_2+(x_4+s)^2
\end{array}\right)
\end{align*}[/tex]
e observar que
[tex]\qquad \begin{align*} \boxed{(x_1+s)^2+x_2x_3}&=x_1^2+2x_1s+s^2+x_2x_3=x_1^2+2x_1s+(x_1x_4-x_2x_3)+x_2x_3\\
&=x_1(x_1+2s+x_4)=x_1(t(X)+2s)=\boxed{x_1t^2} \, ; \end{align*}[/tex]
[tex]\qquad \boxed{(x_1+s)x_2+x_2(x_4+s)} =x_2(x_1+2s+x_4)=x_2(t(X)+2s)=\boxed{x_2t^2} \, ;[/tex]
[tex]\qquad \boxed{x_3(x_1+s)+(x_4+s)x_3}=x_3(x_1+2s+x_4)=x_3(t(X)+2s)=\boxed{x_3t^2} \, ;[/tex]
[tex]\qquad \begin{align*} \boxed{x_3x_2+(x_4+s)^2}&=x_3x_2+x_4^2+2x_4s+s^2=x_3x_2+x_4^2+2x_4s+(x_1x_4-x_2x_3)\\
&=x_4(x_4+2s+x_1)=x_4(t(X)+2s)=\boxed{x_4t^2} \, . \end{align*}[/tex]
Assim,
[tex]\qquad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$R^2$}=R\cdot R=\dfrac{1}{t^2}\left(\begin{array}{cc}
t^2x_1 & t^2x_2 \\
t^2x_3 & t^2x_4
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
x_1 & x_2 \\
x_3 & x_4
\end{array}\right)= \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$X$} \, .[/tex]

(Neste caso, diremos que [tex]R \, [/tex] é a raiz quadrada matricial de [tex]X \, [/tex] e indicaremos assim: [tex]R=\sqrt{X} \, .[/tex])

(b) Vamos imitar o processo de obtenção da fórmula de Bhaskara:
Se [tex]I[/tex] denota a matriz identidade de tamanho [tex]2\times 2[/tex], então temos que:
[tex]\qquad \qquad X^2+ X=-C \, \, \, \Longleftrightarrow \, \, \, \boxed{X^2+ X+\dfrac{1}{4}I}=\dfrac{1}{4}I-C=\boxed{\dfrac{I-4C}{4}} \, . \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Do fato de a multiplicação matricial ser distributiva com relação à adição matricial obtemos que:
[tex]\qquad \begin{align*}\boxed{\left(X+\dfrac{1}{2}I\right)^2}&=\left(X+\dfrac{1}{2}I\right)\cdot \left(X+\dfrac{1}{2}I\right)=X^2+\dfrac{1}{2}X+\dfrac{1}{2}X+\dfrac{1}{4}I\\
&=\boxed{X^2+ X+\dfrac{1}{4}I} \, .\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}\end{align*}[/tex]
Desta maneira,
[tex]\qquad \left(X+\dfrac{1}{2}I\right)^2\stackrel{\textcolor{#800000}{(ii)}}{=}X^2+ X+\dfrac{1}{4}I\stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{=}\dfrac{I-4C}{4}.[/tex]
Assim,
[tex]\qquad X=\dfrac{-I+\sqrt{I-4C}}{2},[/tex]
em que [tex]\sqrt{ \, }[/tex] denota, neste caso, a raiz matricial introduzida no item anterior.
Seja [tex]Y[/tex] a matriz
[tex]\qquad Y=I-4C=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}
8 & 4 \\
0 & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
9 & 4 \\
0 & 1
\end{array}\right)[/tex]
Para determinarmos [tex]X[/tex], precisaremos encontrar uma raiz quadrada matricial para [tex]Y[/tex] e para isso vamos utilizar a fórmula do item (a).
Neste caso, note que [tex]\boxed{t(Y)=9+1=10} \, , \, \boxed{D(Y)=9\times 1+0\times 4=9} \, , \, \boxed{s=\sqrt{9}=3} \, , \, \boxed{t=\sqrt{10+2\times 3}=4}[/tex] e, com isso, uma raiz quadrada de [tex]Y[/tex] é dada por

[tex]\qquad \sqrt{Y}=\dfrac{1}{t}\left(\begin{array}{cc}
9+s & 4 \\
0 & 1+s
\end{array}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}
9+3 & 4 \\
0 & 1+3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
3 & 1 \\
0 & 1
\end{array}\right)[/tex]

e uma raiz [tex]X[/tex] da equação matricial [tex] X^2+ X+C=\left(\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right)[/tex] pode finalmente ser obtida:

[tex]\quad X=\dfrac{-I+\sqrt{I-4C}}{2}[/tex]

[tex]\quad X=\dfrac{-I+\sqrt{Y}}{2}[/tex]

[tex]\quad X=-\dfrac{1}{2}I+\dfrac{1}{2}\sqrt{Y}[/tex]

[tex]\quad X=-\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}
3 & 1 \\
0 & 1
\end{array}\right)[/tex]

[tex]\quad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$X=\left(\begin{array}{cc}
1 & \frac{1}{2} \\
0 & 0
\end{array}\right)$} \, .[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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