Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Considere os seguintes subconjuntos de [tex]\mathbb{R}:[/tex]
[tex]\qquad A\ =\ \{a\,\, |\,\, a=2n-1, \,\, n\,\, \in\,\, \mathbb{Z} \}[/tex]
[tex]\qquad B=\ \{b\,\, |\,\, b \,\, é\,\, número\,\, natural \,\, e \,\, primo\}[/tex]
[tex]\qquad C=\left\{ c\,\, | \,\, c=\frac{p}{q},\,\, p,\,\, \,\, q \,\, \in\ \mathbb{Z},\,\, q\neq 0, \,\, p\,\, e\,\, q\,\, primos\,\, entre\,\, si\right\}[/tex]
Determine se as afirmativas a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas.
(a) [tex]A\supset B.[/tex]
(b) Se [tex]b_1\, ,\, b_2 \, \in \, B,[/tex] então [tex]b_1+b_2\, \in B.[/tex]
(c) [tex]B \subset C[/tex].
(d) [tex]\frac{\sqrt{3}}{3} \in\ C.[/tex]
Solução
(a) A afirmação é falsa.
Observe que [tex]A[/tex] é o conjunto dos números inteiros ímpares.
Veja também que [tex]2\in B[/tex], mas [tex]2\notin A[/tex]; logo, [tex]B \not\subset A\, [/tex], ou seja, [tex]\fcolorbox{#aaaaaa}{#E8E8E8}{$A\not\supset B$}\, .[/tex]
(b) A afirmação é falsa.
Para justificar a falsidade da afirmação, vamos mostrar um contraexemplo: observe que [tex]\fcolorbox{#aaaaaa}{#E8E8E8}{$3\, ,\, 5 \ \in\ B$}\, [/tex], mas [tex]\fcolorbox{#aaaaaa}{#E8E8E8}{$3+5=8 \not\in B$}\, .[/tex]
(c) A afirmação é verdadeira.
Para justificar a veracidade da afirmação temos que garantir que todo elemento de [tex]B[/tex] é também elemento de [tex]C\, .[/tex]
Para tanto, seja [tex]\fcolorbox{#aaaaaa}{#E8E8E8}{$b \in B$}\, [/tex]; assim, [tex]b[/tex] é um número natural primo.
Agora, observe que:
- [tex]b[/tex] pode ser escrito como [tex]\boxed{\frac{b}{1}}\, .[/tex]
- Como [tex]b\, ,\, 1\, \in \mathbb{N}[/tex] e [tex] \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}[/tex], então [tex]\boxed{b\, ,\, 1\, \in \mathbb{Z}}\, .[/tex]
- [tex]\boxed{1 \ne 0}\, .[/tex]
- Além disso, como o único divisor positivo de [tex]1[/tex] é o próprio [tex]1[/tex], então [tex]mdc(1\, ,\, b)=1[/tex], ou seja, [tex]\boxed{b \text{ e } 1 \text{ são primos entre si}}[/tex]
Assim, [tex]b=\dfrac{b}{1}[/tex], com [tex]b\, ,\, 1\, \in \mathbb{Z}\, , 1 \ne 0\, [/tex], e [tex]b[/tex] e [tex]1[/tex] primos entre si.
Portanto [tex]\fcolorbox{#aaaaaa}{#E8E8E8}{$b \in C$}\, [/tex], o que garante que, de fato, todo elemento de [tex]B[/tex] é também elemento de [tex]C\, .[/tex]
(d) A afirmação é falsa.
Aqui, vamos raciocinar por contradição: vamos supor que a afirmação é verdadeira e mostrar que essa suposição acarreta uma contradição matemática.
Suponhamos, então, que a afirmação fosse verdadeira. Assim, seria possível encontrar [tex]p,q\in\mathbb{Z}[/tex] (com [tex]q\neq 0[/tex]) tais que [tex]\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{p}{q}[/tex].
Daí, teríamos [tex]\sqrt{3}=\dfrac{3p}{q}[/tex] com [tex] 3p,q\in\mathbb{Z}\, [/tex] e, portanto, [tex]\sqrt3[/tex] seria um número racional. Mas isto é uma contradição, já que sabemos que [tex]\sqrt3[/tex] é irracional.
Tal contradição veio de assumirmos como verdadeira a afirmação de que [tex]\boxed{\frac{\sqrt{3}}{3}\ \in\ C}\, [/tex]; portanto, [tex]\fcolorbox{#aaaaaa}{#E8E8E8}{$\dfrac{\sqrt{3}}{3} \not\in C $}\, [/tex].
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