Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
Seja [tex]p(n)[/tex] o produto dos dígitos de um número natural [tex]n[/tex]. Por exemplo,
- [tex]p(8)=8[/tex],
- [tex]p(32)=6[/tex],
- [tex]p(241)=8[/tex].
Determine o valor da soma [tex]\boxed{p(1)+p(2)+ \dots + p(99)+p(100)} \, .[/tex]
Solução
Para obter a soma [tex]\boxed{p(1)+p(2)+ \dots + p(99)+p(100)} \, [/tex], vamos agrupar de maneira conveniente as parcelas. Mas, antes, observe que os múltiplos de [tex]10[/tex] em nada contribuem para a soma solicitada no problema, já que o produto dos dígitos desses números será zero. Portanto, vamos ignorá-los nas somas parciais que faremos.
Veja que:
- [tex]p(1)+p(2)+ \dots + p(8)+p(9)=1+2+\cdots+8+9 \, [/tex];
- [tex]\begin{align*} p(11)+p(12)+ \dots + p(18)+p(19)&=1\cdot 1+1\cdot 2+\cdots+1\cdot 8+1\cdot 9\\
&=1\cdot \left(1+2+\cdots+8+9 \right) \, ; \end{align*}[/tex] - [tex]\begin{align*} p(21)+p(22)+ \dots + p(28)+p(29)&=2\cdot 1+2\cdot 2+\cdots+2\cdot 8+2\cdot 9\\
&=2\cdot \left(1+2+\cdots+8+9 \right) \, ; \end{align*}[/tex] - [tex]\begin{align*} p(31)+p(32)+ \dots + p(38)+p(39)&=3\cdot 1+3\cdot 2+\cdots+3\cdot 8+3\cdot 9\\
&=3\cdot \left(1+2+\cdots+8+9 \right) \, ; \end{align*}[/tex]
e assim sucessivamente, até obtermos a última soma parcial:
- [tex]\begin{align*} p(91)+p(92)+ \dots + p(98)+p(99)&=9\cdot 1+9\cdot 2+\cdots+9\cdot 8+9\cdot 9\\
&=9\cdot \left(1+2+\cdots+8+9 \right) \, ; \end{align*}[/tex]
Portanto,
[tex]\qquad \begin{align*}p(1)+p(2)+ \dots + p(99)+p(100)=&\left(p(1)+p(2)+ \dots + p(8)+p(9)\right)+\\
&+\left( p(11)+p(12)+ \dots + p(18)+p(19)\right)+\\
&+\left( p(21)+p(22)+ \dots + p(28)+p(29)\right)+\\
&+\left(p(31)+p(32)+ \dots + p(38)+p(39)\right)+\\
&+ \cdots+\\
&+\left(p(91)+p(92)+ \dots + p(98)+p(99)\right) \, ,
\end{align*}[/tex]
ou seja,
[tex]\qquad \begin{align*}p(1)+p(2)+ \dots + p(99)+p(100)=&\left(1+2+\cdots+8+9\right)+\\
&+ 1\cdot \left(1+2+\cdots+8+9 \right)+\\
&+ 2\cdot \left(1+2+\cdots+8+9 \right)+\\
&+3\cdot \left(1+2+\cdots+8+9 \right)+\\
&+ \cdots+\\
&+9\cdot \left(1+2+\cdots+8+9 \right),
\end{align*}[/tex]
ou, ainda,
[tex]\qquad \begin{align*}p(1)+p(2)+ \dots + p(99)+p(100)=&\left(1+2+\cdots+8+9\right)+\\
&+\left[\left(1+2+\cdots+8+9\right)\cdot\left(1+2+\cdots+8+9\right)\right]\\
=&\left(1+2+\cdots+8+9\right)+\left(1+2+\cdots+8+9\right)^2 \, .
\end{align*}[/tex]
Finalmente, como [tex]1+2+\cdots+8+9=45 \, [/tex], segue que:
[tex]\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$p(1)+p(2)+ \dots + p(99)+p(100)=45+45^2=45+2025=2070$} \, .[/tex]
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