Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de números naturais positivos com [tex]5[/tex] elementos.
Dizemos que [tex]A[/tex] representa um número inteiro [tex]n[/tex] se [tex]n[/tex] puder ser escrito como uma soma de elementos de [tex]A[/tex] com todas as parcelas distintas entre si.
Se [tex]A[/tex] representa exatamente [tex]25[/tex] números naturais, então mostre que existe pelo menos um número natural [tex]n[/tex] que pode ser representado de mais de uma forma por [tex]A[/tex].
Solução
Para construir um número representado por [tex]A[/tex] devemos decidir se:
- o primeiro elemento irá ou não participar da soma,
- se o segundo irá ou não participar
- e, assim sucessivamente, até o quinto elemento.
Portanto, o número máximo de números naturais representados por [tex]A[/tex] é [tex]2^5-1=31[/tex], pois devemos desconsiderar o caso em que nenhuma parcela foi selecionada para participar da soma.
Como existem apenas [tex]25[/tex] números naturais representados por [tex]A[/tex], segue que existem somas iguais entre as [tex]31[/tex] que calculamos anteriormente, ou seja, existem parcelas distintas com a mesma soma, representando o mesmo número.
Desta maneira, existem números que podem ser representados de duas ou mais formas distintas por [tex]A[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.