Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Se [tex]x[/tex] é um número real que satisfaz a igualdade [tex]x^3=x+2[/tex], encontre um polinômio do segundo grau que representa [tex]x^{10}[/tex].
Solução
- Inicialmente, observe que
[tex]\qquad \begin{align*} \boxed{x^{10}}&=(x^3)^3\cdot x\\
& =(x+2)^3\cdot x\\
&=(x^3+6x^2+12x+8)\cdot x.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}\end{align*}[/tex] - Agora, substituindo [tex]x^3[/tex] por [tex]x+2[/tex] na expressão [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex], vem:
[tex]\qquad \begin{align*} (x^3+6x^2+12x+8)\cdot x&= (x+2+6x^2+12x+8)\cdot x\\
&=(6x^2+13x+10)\cdot x\\
&=6x^3+13x^2+10x \, .\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}\end{align*}[/tex] - Mais uma vez, substituindo [tex]x^3[/tex] por [tex]x+2 \, [/tex], agora em [tex] \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], temos:
[tex]\qquad \begin{align*} 6x^3+13x^2+10x&=6(x+2)+13x^2+10x\\
&=\boxed{13x^2+16x+12}.\end{align*}[/tex]
Assim, se [tex]x^3=x+2[/tex], então [tex]\boxed{x^{10}=13x^2+16x+12} \, [/tex] e, portanto, o polinômio [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$p(t)=13t^2+16t+12$}[/tex] é tal que [tex]p(x)=x^{10} \, .[/tex]
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